数学的帰納法について

質問

数学的帰納法によって、
　 f (n) = n ! / n ^ n 　は、　0 < f (n) ≦ 1 / n ・・・(a)
を証明しようとしています。

[1]　ｎ = 1 のとき、 f (1) = 1 となり、(a)は成り立つ。
[2]　ｎ = k のとき、(a)が成り立つと仮定すると
　　　　　　0 < f (k) = k ! / k ^ k ≦　1 / k
　　　すると、ｎ = k + 1 のとき、
　　　　　　・・・
　　　この部分なのですが、
　　　　　　 f ( k + 1 ) = k ! ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ^ ( k + 1 )
　　　分子の部分は、( k + 1) ! となります。
　　　ところが、分母の部分を n = k の式からうまく関連付けて
　　　(a)の不等号式が成り立つことへ導くことができません。

ご教授頂けませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

mistery200

ｎ = k のとき、(a)が成り立つと仮定すると
　　　　　　0 < f (k) = k ! / k ^ k 　1 / k
　　　すると、ｎ = k + 1 のとき、
　　　 f ( k + 1 ) = k ! ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ^ ( k + 1 )
次は、分母分子から（ｋ＋１）を消して
f ( k + 1 ) = k ! / ( k + 1 ) ^ k
　　　　　　＝ k ! / k^k　×　k^k／( k + 1 ) ^ｋ
　　　　　　≦　1/k　×　k^k／( k + 1 ) ^ｋ
　　　　　　＝　k^（k-1)／｛( k+1 ) ^（ｋ-1）｝×１／（ｋ＋１）
　ここで、
k^（k-1)／｛( k+1 ) ^（ｋ-1）｝＜１であるので、
f ( k + 1 )≦１／（ｋ＋１）となる。

回答No.2

koko_u_

n！= 1・2・3…・n
n^n = n・n・n…・n

だから、帰納法の出番はないけどね。

回答No.1

himajin100000

f ( k + 1 ) = f(k) ・ { (k + 1) ・ k^ k / ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) }

f ( k + 1 ) = f(k) ・ { k / (k + 1)}^k

k / (k + 1) < 1
だから

k >= 1の時

{ k / (k + 1)}^k <= k / ( k + 1)
よって

f(k + 1) = f(k) ・ { k / (k + 1)}^k <= (1 / k) ・ { k / (k + 1)}^k <= (1 / k) ・{ k / ( k + 1) } = 1 / (k + 1)

以下略