集中荷重が掛かる片持ちハリの曲がる形は？

質問

┃　　　　　　　　　　↓Ｆ
┣━━━━━━━━━
┃

図のように一様な断面形状を持つ片持ちハリに集中荷重が掛かるとハリは下向きに曲がりますが、このとき曲線はどのような形になるのでしょうか？

円弧になるのでしょうか、それともそれ以外の曲線（放物線やその他の曲線）になるのでしょうか。

回答No.1

AoDoc · ベストアンサー

図のように座標を取ります。 0<x<aでは曲げモーメント０となります。微分方程式を解くと、a<x<Lでたわみyは式(2)のようになります。たわみを求めるときの条件は、x=Lでy=0, たわみ角=0です。
0<x<aでは曲げモーメント０ではりは変形しませんが、傾きθAと点(a,yA)を通る直線(4)となります。θAはC点でのはりのたわみ角、yAはC点でのたわみで式(2)から求めます。結局、0<x<aではたわみの式は(5)式となります。

お礼

ご教授くださりありがとうございました。
図と式で説明していただき、とても勉強になります。
じっくり考え、よく理解したいと思います。
貴重なお時間を割き、教えてくださり本当にありがとうございました。

回答No.3

px1949

３次関数です。
荷重点から左向きに座標ｘをとり、荷重点と固定点との距離をL、
ａ＝ｘ／Ｌ
とすれば、下向きの変位（＝たわみ）うｕは、
ｕ＝(ＦＬ^3／3ＥＩ)（１－3ａ／2＋ａ^3／2）
で表されます。
ここで、
Ｅ：縦弾性係数、
Ｉ：断面２次モーメント
です。
以上、ｘの向きが普通と逆ですので、注意しましょう。

荷重点から右は、荷重点での勾配で、そのまま直線状に変形します。
勾配θは、ｕをｘで微分した式、
θ＝(ＦＬ^2／2ＥＩ)（－1＋ａ^2）
で表されます。θの符号は、右下がりが正です。
ｘ＝０の時、
ｕ＝ＦＬ^3／3ＥＩ、
θ＝ＦＬ^2／2ＥＩ
ですから、荷重点から右の範囲では、ｘが負であることに注意すれば、
ｕ＝ＦＬ^3／3ＥＩ－ＦＬ^2・ｘ／2ＥＩ
または、ａを使えば、
ｕ＝ＦＬ^3／3ＥＩ－ａＦＬ^3／2ＥＩ
と書き表されます。

お礼

ご教授くださりありがとうございました。
Excelで曲線の形を描いてみて、イメージがわきました。
数式の内容については力学の本と照らし合わせ、よく理解したいと思います。
貴重なお時間を割き、教えてくださり本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

集中荷重Ｆは、材端にかかると思っていいですか？。それで良ければ、梁に中間荷重はないので、梁の曲げ剛性をＥＩ，Ｆの向きの変位をＷ(x)，xは梁に沿った座標として、梁の曲げの微分方程式、

　　ＥＩ・d^4Ｗ／dx^4＝0

を解くだけです。ここで^4は、4階微分を表します。右辺0なのでＥＩで割ってしまい、

　　d^4Ｗ／dx^4＝0

になるだけですから、答えは3次曲線。

　　w(x)＝ax^s＋bx^2＋cx＋d

です。ここでの^2などは、ベキ乗を表します。積分定数a，b，c，dは、固定端での境界条件、

　w(0)＝0（固定端で変位0）
　dw/dx(0)＝0（固定端でたわみ角0）
　ＥＩ・d^2w/dx^2(0)＝ＦL（固定端で曲げモーメントは、Ｆによる曲げモーメント）
　－ＥＩ・d^3w/dx^3(0)＝Ｆ（固定端でせん断力は、Ｆ）

から決めます。最後の式の符号に、ちょっと自信がありません。構造力学の教科書で調べて下さい。

お礼

ご教授くださりありがとうございました。
教えていただきました数式についてもよく理解できるよう力学の本を読み直してみます。
貴重なお時間を割き、教えてくださり本当にありがとうございました。