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片持ち梁の振動応力と荷重について
- 片持ち梁に上下振動を掛けた場合の荷重について教えてください。
- 材質はSUS304で、梁の形状は長さ100mm、径Φ2mmです。重りは5gで、振動加速度は2Gです。振動周波数は固有振動数以外の領域です。
- また、固有振動数とその時の荷重も教えていただけると幸いです。静荷重のたわみは有るそうですが、振動系のヒントがなく困っています。
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非常に簡単なモデルで、大学の力学の課題の様に思えるのですが、学生さんではないですよね？(学生なら再度自分で考えて下さい) 上下運動させるとのことですが、その上下運動の具体的は周波数はいくらかのでしょうか？ 固有振動数以外の領域と書いていますが、それは雲をつかむような膨大な組み合わせがあると思います。 そもそも、貴殿は固有振動数は1つだと考えていませんか？ 構造物には固有振動モードというものが存在します。これは理論的には無限にあります。 恐らく、貴殿の言う固有振動数とはその1次曲げモードを言っているのでは？ また、固有振動数とその時の荷重とのことですが、固有振動数とは上記の通り構造物固有のものであり、荷重を掛けなくても存在します。荷重の絶対値に関係するのではなく、上下運動の加振周波数に依存します。これが固有振動数であれば、梁のたわみは急激に大きくなります。少なくとも上記条件であれば、強制振動になります。 ρA(∂^2・Y/∂t^2) + EI(∂^4・Y/∂x^4) = F(x,t) ρ：密度 A：梁の断面積 E：ヤング率 I：断面2次モーメント Y：たわみ F：強制荷重 を頑張って解析してみて下さい。恐らくネットで検索すれば、答えが載っていると思います。F(x,t)=0として解析した場合、固有振動数が得られます。そして、基本モードの整数倍で固有値が計算されるはずです。 あと荷重ですが、実際は振動方向が切り替わる場合は慣性力が発生するため、少しややこしいと思いますが、一度上記強制荷重をmα・sinωt(m:質量、α：加速度、ω：加振角周波数)で考えれば如何でしょうか？ たぶん、検索の仕方によっては、もっと有益な情報が得られると思いますよ。 SUS304のヤング率Eを190[GPa]と仮定した場合、小生の計算では、上記モデルでの固有振動数fは47.6[Hz]となりましたので、貴殿の上記目的がある程度把握できたように思います。 上記モデルを減衰考慮の1自由度系モデルと仮定した場合、 m(d^2・Y/dt^2)+c(dY/dt)+k・Y = fsinωt ・・・(1) Y：たわみ m：おもり質量 c：減衰係数 k：バネ定数(=3EI/(L^3)) f：強制荷重 ω：加振角周波数 が成立します。これを解き、貴殿が欲しい梁荷重P、つまり(1)式の左辺第3項に代入すると、荷重振幅のみを考えた場合、 P / f = ωn^2 / √{(ωn^2-ω^2)^2 + (2ζωn・ω)^2} ・・・(2) ωn：固有角周波数 ζ：減衰比 (=c/{2√(mk)}) と計算されます。もし減衰を考慮しないならば、ζ=0です。 回答にも書きましたが、f=mαとすれば、固有振動数を含めた上記条件での荷重計算ができると考えます。
お礼
丁寧なご回答を頂き、ありがとうございました。お察しの通り、 私は現役学生では有りません。（電気科卒の社会人です） 今回私が質問させて頂いた目的は、『２０～２００Hzの周波数で製品 （片持ち梁モデル）を上下加振しても、梁が破損しないか』の検証でした。 恐らくこの周波数域には共進点（1点）が存在し、共進点と共進点以外では 撓み量が異なる為、それぞれの荷重を算出したいと考えていました。 固有振振動数での振動中の、荷重は何とか分かりそうですが、 固有振動数以外（例えば２００Hz）での荷重計算は、どう考えれば 良いでしょうか？良い検索先を教えて頂けると幸いです。