片持梁についての問題が分かりません。

質問

問題は下の通りで、
解答には、途中式もなく、P=3/4[(l/l1)-(1/3)]W
と書いてあるだけなので、自分でも考えてみましたが、何故こうなるのかどうしても分かりません。
どなたかよろしくお願いします。

□□□　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 W
□□□A　　　　　　　　　　　　　　　　　B↓
□壁□■■■■■■■■■■■■
□□□■■■■■■
□□□C　　　　　　　 D
□□□

長さlの片持ばりがそれよりも短い長さl1の片持梁CD上に支えられ、自由端Bに集中荷重Wを受ける。
両方の梁の断面形状を同一とすると、C端では、両者の間にどれほどの圧力Pが作用するか？

回答No.5

fuuraibou0 · ベストアンサー

点Ｄ　が動かない支点なら，点Ｄの反力　Ｒ　は，不静定はりとして，

Ｒ＝(３/２){(Ｌ1/Ｌ)－１/３}Ｗ　で，はり　ＡＢ　の全せん断力は，

支点Ａ　の反力を　ＲA　として，　ΣＦ＝－ＲA＋Ｒ－Ｗ＝０　です。

ここからは、僕の推定で，点Ｃ　の反力を　Ｐ＝Ｒ/２　とした場合，
貴君が示された　Ｐ　の値になり，このようにした理由を推定すると，
支点Ｄ　は固定でなく，上部のはり　ＡＢ　の全せん断力　ΣＦ1　が

ΣＦ1＝－(ＲA－Ｒ/２)＋Ｒ/２－Ｗ＝０，　また，下部　ＣＤ　では，
　ΣＦ2＝＋Ｐ－Ｒ/２＝０，　∴　Ｐ＝(３/４){(Ｌ1/Ｌ)－１/３}Ｗ

このように考えた場合でも，上部の　ＡＤ　と，下部の　ＣＤ　には，
摩擦の無い接触面として，互いに接して，(Ｒ/２)/Ｌ1　の等分布荷重
が作用し，０≦ｘ≦Ｌ1　における上部と下部の　ｘ　でのせん断力は，

　Ｆ1ｘ＝－(ＲA－Ｒ/２)＋{(Ｒ/２)/Ｌ1}*ｘ，
Ｆ2ｘ＝＋Ｐ－{(Ｒ/２)/Ｌ1}*ｘ

また、上部のはり　ＤＢ　のせん断力　Ｆ1ｘ　は，Ｌ1≦ｘ≦Ｌ　で，

　Ｆ1ｘ＝－(ＲA－Ｒ/２)＋(Ｒ/２)＝Ｗ＝一定　で，あくまでも　Ｐ　を

　Ｐ＝(３/４){(Ｌ1/Ｌ)－１/３}Ｗ　とした場合，理にかなっているかも？

お礼

毎回、返信遅くなり済みません、解答ありがとうございます。
一端C点が固定端支持の場合の値を求めてからそれを1/2倍する方法ですと、よく分からないので、出来れば、直接的に求める方法での解をいただけないでしょうか？

回答No.4

fuuraibou0

不静定の場合は，まず始めに支点Ｄがないものとして，普通の片持はりで 点Ｄ のたわみ　ＵD　を求めると，ＵD＝－Ｗ＊(Ｌ1)^2＊(３Ｌ－Ｌ1)/６ＥＩ

また，反力　Ｒ　による点Ｄのたわみ　ＶD　は，ＶD＝Ｒ＊Ｌ1^3/３ＥＩ

∴　｜ＵD｜＝｜ＶD｜　より，　Ｗ＊(Ｌ1)^2＊(３Ｌ－Ｌ1)＝２＊Ｒ＊Ｌ1^3

∴　Ｒ＝Ｗ＊(３Ｌ－Ｌ1)/(２＊Ｌ1)＝(３/２){(Ｌ/Ｌ１)－(１/３)}Ｗ　でした。
御免なさい。ここで単純に，この　Ｒ　を上部のはりと，下部のはりで半々に
受け持つものとした場合、下部のはり ＣＤ のせん断力　ΣＦ＝Ｐ－Ｒ/２＝０，

よって，Ｐ＝(３/４){(Ｌ/Ｌ１)－(１/３)}Ｗ　とされたのでは、ないでしょうか。

なお，Ｒ/２　が　ＣＤ間で接触による等分布荷重　(Ｒ/２)/Ｌ1　として作用し，
点Ｃから　ｘ　の等分布の総和は、{(Ｒ/２)/Ｌ1}＊ｘ＝{Ｒ/(２＊Ｌ１)}＊ｘ で，

０≦ｘ≦Ｌ1　におけるせん断力　Ｆx　は，　Ｆx＝Ｐ－{Ｒ/(２＊Ｌ１)}＊ｘ　です。

お礼

質問なのですが、
これは、上の梁の点Dの位置をRの力で上から押した場合に、上下の梁の、それぞれA点とC点にR/2の力が掛かるという

ことを意味しているのでしょうか？

後、

＞なお，Ｒ/２　が　ＣＤ間で接触による等分布荷重　(Ｒ/２)/Ｌ1　として作用し，
＞点Ｃから　ｘ　の等分布の総和は、{(Ｒ/２)/Ｌ1}＊ｘ＝{Ｒ/(２＊Ｌ１)}＊ｘ で，
＞
＞０≦ｘ≦Ｌ1　におけるせん断力　Ｆx　は，　Ｆx＝Ｐ－{Ｒ/(２＊Ｌ１)}＊ｘ　です。

と、ありますが、なぜＣＤ間は等分布荷重になっていると分かるのでしょうか？

回答No.3

fuuraibou0

単純に考えた場合、上部のはり ＡＢ と，下部のはり ＣＤ の接触面に摩擦がない
ものとすると，点 Ｄ の反力 Ｒ を上部と下部で半々に受持ち，ＡＮｏ.１ において，
下から２行目，下部のはりの点 Ｄ における反力を Ｐ＝Ｒ/２ として、

上部のはり ＡＢ のせん断力を，ΣＦ＝－Ｒａ＋Ｒ/２－Ｗ＝０，すなわち，
０≦ｘ≦Ｌ１ において，Ｆｘ＝－Ｒａ＋{Ｒ/(２＊Ｌ１)}＊ｘ

また，下部のはり ＣＤ のせん断力を，ΣＦ＝－Ｐ＋Ｒ/２＝０，すなわち，
０≦ｘ≦Ｌ１ において，Ｆｘ＝－Ｐ＋{Ｒ/(２＊Ｌ１)}＊ｘ

よって，Ｒ＝(３/２){(Ｌ/Ｌ１)＋(１/３)}Ｗ とすると，下部のはりの点 Ｃ の反力
は，Ｐ＝(３/４){(Ｌ/Ｌ１)＋(１/３)}Ｗ になって，貴方が始めに示された値の様な
形になりますが、(１/３) の前の符号が（－）でなく，（＋）になると思います？

補足

下の方で、書き忘れてましたが、返信大分送れて済みません＾＾；

＞下から２行目，下部のはりの点 Ｄ における反力を Ｐ＝Ｒ/２ として、

とありますが、何故、Ｐ＝Ｒ/２ とおけるのでしょうか？

また、＞Ｆｘ＝－Ｒａ＋{Ｒ/(２＊Ｌ１)}＊ｘ

とありますが、これも何故なんでしょうか？

後下の文はA NO.3を読む前に書いてしまったので、（-）、（+）のことで、一応自分が計算してみた結果を載せてみ

ます、

0≦x≦l1の時
Mx=MA-RAx=R(l1-x)-(Wl-x)

x=0の時、
MA=Rl1-Wl　--------------------(1)

上下の釣り合いより
RA=R-W　----------------------(2)

d~2v/dx~2=-M/EIより、
d~2v/dx~2=-Mx/EI
　　　　　=1/EI(RAx-MA)

よって、積分して、
i=1/EI((RA/2)x~2-MAx+C1)
v=1/EI((RA/6)x~3-(MA/2)x~2+C1x+C2)

初期条件よりx=0の時、i=0,v=0なので、
C1=,C2=0

よって
i=1/EI((RA/2)x~2-MAx)
v=1/EI((RA/6)x~3-(MA/2)x~2)

初期条件より、x=l1で、v=0なので、
0=1/EI((RA/6)l1~3-(MA/2)l1~2)
0=(RA/3)l1-MA

ここで、(1),(2)を代入して、
0=((R-W)/3)l1-(Rl1-Wl)
=(R/3)l1-Rl1-(l1/3)W+Wl
=-(2R/3)l1+(l-l1/3)W

R=(3/(2l1))(l-l1/3)W
=(3/2)((l/l1)-1/3)W　-------------------Ans

という感じになりました。

回答No.2

fuuraibou0

左端が壁の場合、単純支持はりとしては、いけません。点Ａから、右へ
ｘ（０≦ｘ≦Ｌ１）の任意点におけるモーメント Ｍｘ は、左側と右側の
モーメントが等しく、

Ｍａ－Ｒａ＊ｘ＝Ｍｘ＝Ｒ＊(Ｌ１－ｘ)－Ｗ＊(Ｌ－ｘ)　（ －Ｒａ＊ｘ≠Ｍｘ ）

なお，ｘ＝０ で，Ｍａ＝Ｒ＊Ｌ１－Ｗ＊Ｌ
また，ΣＦ＝－Ｒａ＋Ｒ－Ｗ＝０ より，Ｒａ＝Ｒ－Ｗ ですが，

ここで，問題になるのが点 Ｄ の反力 Ｒ で，Ｒ＝(３/２){(Ｌ/Ｌ１)＋(１/３)}Ｗ
になると思います。

お礼

あ、MAを付け忘れてましたね＾＾；；

後、計算してみると
Ｒ＝(３/２){(Ｌ/Ｌ１)＋(１/３)}Ｗ
でなく

Ｒ＝(３/２){(Ｌ/Ｌ１)－(１/３)}Ｗ
となるのですが、これは、-の方ですよね？

回答No.1

fuuraibou0

｜←―－―Ｌ―――→↓Ｗ
■■■■■■■■■■
｜Ａ　　　　△Ｄ　　Ｂ　
↑←Ｌ１→↑Ｒ

長さ Ｌ の片持はり ＡＢ の途中、点 Ａ から Ｌ１ の点 Ｄ に
支点があると、単純な片持はりでなく、不静定はりになり、
このとき、点 Ｄ の反力 Ｒ は

Ｒ＝(３/２){(Ｌ/Ｌ１)＋(１/３)}Ｗ になると思いますが？

｜←Ｌ１→↓Ｒ
■■■■■
Ｃ　　　　 Ｄ
↑Ｐ

そして、下の片持はりの反力 Ｐ は、Ｐ＝Ｒ になりませんか？

よって、これの応用で、ＡＤ 間が等分布支持の場合では？

お礼

解答有り難うございます。

申し訳ないのですが、単純支持の場合でもどの様に解けばよいのか、分からないので、是非解き方を教えていただきたいです。

単純支持の場合を自分で解いてみると、

モーメントをM、Aでの反力をRA、Dでの反力をP、たわみ角をi、たわみをvとし、
Aの位置を0として、0≦x≦l1のとき

M=RAx

d~2v/dx~2=-M/EIより

i=-(1/EI)((RA/2)x~2+C1)
v=-(1/EI)((RA/6)x~3+C1x+C2)

ここで、初期条件より、x=0にて、i=0,v=0なので、

C1=0,C2=0

よって、
i=-(1/EI)(RA/2)x~2
v=-(1/EI)(RA/6)x~3

ここまでは、問題無いのですが、

Dで単純支持されているためl1でv=0とすると、

v=-(1/EI)(RA/6)l1~3=0

となってしまい、RA=0となってしまうので、上下の力の釣り合いよりRA+P+W=0なので、
P=-Wとなってしまうのですが、どの様にすればよいのでしょうか？