一様連続性の問題について添削をお願いします

質問

問:　x の関数 e^(-x) は正の実軸上において一様連続であることを示せ

添削していただきたいのは上の問です

解答:　任意のεに対してあるδ:=Log[1-ε] をとると

|x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞)

⇒ |f(x)-f(y)|

= |e^(-x)-e^(-y)|

= |(1/e^x)-(1/e^y)|

= |(1/e^x)*(1-e^x/e^y)|

= (1/e^x)*|1-e^(x-y)|

≦ |1-e^(x-y)|

＜ |1-e^(Log[1-ε])|

=ε

自信ないです、よろしくおねがいします。

回答No.1

OurSQL · ベストアンサー

大体の流れは良いのですが、細かいミスが何箇所と、致命的なミスが一箇所あります。

>> 任意のεに対して --> 任意の ε > 0 に対して

>> あるδ:=Log[1-ε] をとると --> δ:= log ( 1 + ε ) とおくと
ε > 0 ですから、δ:= log ( 1 - ε ) とおいたのでは、δ < 0 になってしまいます。

>> |x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞) --> | x - y | < δ (∀x, ∀y ∈ ( 0, ∞ ) )
「正の実軸上において一様連続～」といっているのですから、0 は含みません。

ここまでで、

| x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | ≦ | 1 - e ^ ( x - y ) |

がいえました。

で、いちばん問題の箇所ですが、

>> ≦ |1-e^(x-y)|

>> ＜ |1-e^(Log[1-ε])|

>> =ε

この部分の変形が、この証明における最大の欠陥です。
仮に、質問者さんがすべてを理解した上で書いたのだとしても、省略が多すぎます。

省略せずに書くとすれば、

| x - y | < δ より、

- δ < x - y < δ

よって、

e ^ ( - δ ) < e ^ ( x - y ) < e ^ δ

すなわち、

1／( 1 + ε ) < e ^ ( x - y ) < 1 + ε

各辺に - 1 をかけた後、各辺に 1 を加えると、

1 - ( 1 + ε ) < 1 - e ^ ( x - y ) < 1 - 1／( 1 + ε )

整理して、

- ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε／( 1 + ε )

ε／( 1 + ε ) < ε であるから、

- ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε

よって、

| 1 - e ^ ( x - y ) | < ε

以上で、証明は完成しました。

お礼

添削といいながら、ほとんど全部やっていただいちゃって、、、
ありがとうございます、助かりました。
ちゃんとεで抑えられてちょっと感動しました。^^

あと、0が含まれなければ
| x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | ＜ | 1 - e ^ ( x - y ) |
これは＝いらないですよね

回答No.2

OurSQL

>> あと、0が含まれなければ
>> | x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | ＜ | 1 - e ^ ( x - y ) |
>> これは＝いらないですよね
回答への補足なのか、ダメ出しなのか、判断に迷ったのですが ＾＾；
ただ、私自身もいくらか迷った部分なので、回答を追加します。

x > 0 であれば 1/e^x < 1 ですから、等号は必要ないかもしれません。
ですが、あえて等号を含めたのは、x = y という可能性を捨てきれなかったからです。

一様連続の定義では、なぜか

0 < | x - y | < δ ならば

ではなく、

| x - y | < δ ならば

が使われます。よって、「勝手に x ≠ y と解釈してはいけないのかな？」と思ったのです。

お礼

なるほど。奥が深いのですね、勉強になりました。
ありがとうございました。