指数の問題で置き換えがうまくいきません。

質問

高校数学の指数の問題です。

f(x)=2^(x)+2^(-x)-2^(2x-1)-2^(-2x+1)
という関数について　t=2^(x)+2^(-x)　とおいたとき
f(x)をtの式で表せ

という問題です。

この後に最大値を求める問題が続きますが、それ以前にf(x)をtの式で
表す段階がどうしてもうまくいきません。
正しい表記が分からず見づらいかもしれませんが、
お力添えよろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

＞f(x)=2^(x)+2^(-x)-2^(2x-1)-2^(-2x+1)

この問題は、f(x)=2^(x)+2^(-x)-2^(2x-1)-2^(-2x-1)　の間違いではないか？

2^(x)＝a （a＞0）とすると、t＝2^(x)+2^(-x)＝a＋1/a　であるから、Ｐ＝（a＋1/a）-（1/2）*（a＾2＋1/a＾2）＝（1/2）*（t＾2-2t-2）。
相加平均・相乗平均から　t≧2　より、（1/2）*（t＾2-2t-2）の最大値は（平方完成して）t＝2の時、2.

お礼

ご指摘の通り、先生の出題ミスだったようです。。
正しくはf(x)=2^(x)+2^(-x)-2^(2x+1)-2^(-2x+1)
で出題する予定だったようです。
どうりで難しいと思いました・・・
ご回答ありがとうございました。

回答No.7

info22

#!,#2,#6です。
自分で問題をチェックして疑問があれば先生に問題に間違いがないか確認の上、投稿するようにして下さい。丸投げしないで。

>f(x)=2^(x)+2^(-x)-2^(2x+1)-2^(-2x+1)

t=2^(x)+2^(-x) …(1)
ｔ^2=2^(2x)+2^(-2x)+2
2t^2=2^(2x+1)+2^(-2x+1)+1

2^(2x+1)+2^(-2x+1)=2t^2-1…(2)

(1),(2)をf(x)の式に代入して
f(x)⇒t-(2t^2-1)=-2t^2+t+1

お礼

出題された先生に次にお会いできたのがお礼を投稿した前日でしたので
確認を取ったり質問をしたりできずにこちらに投稿する形になりました。
最初のご回答ではごく普通に解いていらっしゃるようでしたし
出題ミスの可能性はもう少しあとに別の方の指摘で出てきたので
てっきり数学の苦手な私には難しくてもできる人には普通に解ける
という問題だと思ってそのままにしてありました。
それと、問題訂正後のものについては、自分で解くことが可能ですし
「それでも分からないので教えてください」とは書いていないので
ご回答は不要でした。
おそらく「引き続き回答が必要なのだろう」と判断されたのでしょうが
もしそれでもまだ解けないなら別に質問をするのが常識ですよね。
それなのに「丸投げした」と思われてしまうなんて心外です。
しかしこれは私がちゃんと不要と書いておくべきでしたね、すみません。
言葉が足らないと思いもよらないほど親切すぎる回答を押し売られるのを
すっかり忘れていました。。

回答No.6

info22

#1、#2です。
A#1に書いた
f(x)のxをtで表した式　g(t)は分母を有理化して式を簡単にすれば
#3さんの
>f(x)=t-(tβ-5/2)=(10+4t-5t^2±3t√(t^2-4))/4
の式「(10+4t-5t^2±3t√(t^2-4))/4」
と同じ式になります。

>この後に最大値を求める問題が続きますが、
t=tmax=2.22136808453539のとき
g(t)は最大値0.16379207336398
をとります。
なお、tmaxの式とg(tmax)の式は複雑ですので数値化してあります。

質問の問題はかなり計算式が複雑になりますので、#4さんが言われているように問題が間違っている可能性もありますね。

回答No.5

mister_moonlight

mistake。。。。。ｗ

（誤）Ｐ＝（a＋1/a）-（1/2）*（a＾2＋1/a＾2）＝（1/2）*（t＾2-2t-2）。

（正）Ｐ＝（a＋1/a）-（1/2）*（a＾2＋1/a＾2）＝（-1/2）*（t＾2-2t-2）。

回答No.3

nag0720

α=2^(x+1)+2^(-x-1)
β=2^(x-1)+2^(-x+1)
とおくと、
α+β=5t/2
αβ=t^2+9/4
が成立するので、
α,β=(5t±3√(t^2-4))/4

tβ=2^(2x-1)+2^(-2x+1)+5/2
なので、
f(x)=t-(tβ-5/2)=(10+4t-5t^2±3t√(t^2-4))/4
（符号は、x≧0のとき＋、x＜0のとき－）

お礼

すみません！
先生の出題ミス（ミスプリント）だったようで
正しくはf(x)=2^(x)+2^(-x)-2^(2x+1)-2^(-2x+1)
だそうです・・・
でもとても分かりやすい回答をありがとうございました。
とても勉強になりました。

回答No.2

info22

#1です。

A#1で
「符号同順」とあるのは「複号同順」
のミスですので訂正して下さい。

回答No.1

info22

相加平均≧相乗平均の関係から
t=2^(x)+2^(-x)≧2√{2^(x)*2^(-x)}=2（等号x=0の時）
2^(2x)-t*2^x+1=0
t≧2より
2^x={t±√(t^2-4)}/2
2^(-x)=1/(2^x)=-{-t±√(t^2-4)}/2
（符号同順）
2^(2x)={t^2-2±t√(t^2-4)}/2
2^(2x-1)={t^2-2±t√(t^2-4)}/4
2^(-2x)=2/{t^2-2±t√(t^2-4)}
2^(-2x+1)=4/{t^2-2±t√(t^2-4)}

f(x)⇒g(t)=t-{t^2-2±t√(t^2-4)}/4 - 4/{t^2-2±t√(t^2-4)} （符号同順）
(|t|≧2)

後は適当に式を整理するだけ。

お礼

すみません！
先生の出題ミス（ミスプリント）だったようで
正しくはf(x)=2^(x)+2^(-x)-2^(2x+1)-2^(-2x+1)
だそうです・・・
でもこうして置き換えることができると分かり
とても勉強になりました。
すぐに回答いただいて本当にありがとうございました。