三角関数の微積分について教えてください。

質問

f(x)=(2+sinx)^-1 が減少、増加しているところを見つけよ。0≧x≦２π
傾きを求めるのは分かるのですがそれからどうすればいいのでしょうか？
アドバイスお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

f'(x)=-cos(x)/(2+sinx)^2

>ここから増加しているところを見つけるとなると
>f'(x)>0を求めればよいのですがこれをどう求めるのかが分からないのです・・・

簡単なことです。

まず、2+sin(x)＞0なので　f(x)＞0

f'(x)の分母は常に　(2+sinx)^2＞0
なので分子の -cos(x) の符号だけで考えればいいですね。

(1) -cos(x)>0のときは　cos(x)<0, π/2<x<(3π/2)
このxの範囲で　f'(x)>0 , f(x)は単調増加

(2)-cos(x)<0のときは　cos(x)>0, 0<x<π/2と(3π/2)<x<2π
このxの範囲で　f'(x)<0 , f(x)は単調減少

(3)-cos(x)=0のときは　cos(x)=0, x=(π/2),(3π/2)
　n=偶数のとき　このxの近傍でf'(x)の符号が負から正に変わるので
極小値(最小値)　f(π/2)=1/3をとります。
　n=奇数のとき　このxの近傍でf'(x)の符号が正から負に変わるので
　　極大値（最大値）f(3π/2)=1をとります。

>減少、増加しているところを見つけよ。
上のことから分かりますね。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました！これを読んでるときに解き方を思い出して簡単なので自分でも笑ってしまいました　笑

回答No.1

proto

＞傾きを求めるのは分かるのですがそれからどうすればいいのでしょうか？
すでに傾きを求められているのなら、傾きが正の所では増加していますし傾きが負の所では減少していますからそのように答えればokです。

傾きを求めたいんだけれど求められていないという段階なら、f(x)を微分するところから始めて下さい。
　　f(x) = 1/(2+sin(x))
としてから商の微分法を適用しても良いですし、
　　z = y^(-1)
　　y = 2+sin(x)
として合成関数の微分法を用い
　　f'(x) = dz/dx = dz/dy * dy/dx
を計算しても良いでしょう。

お礼

この式を微分するとf'(x)=-(2+sinx)^-2×cosxとなりますよね？
ここから増加しているところを見つけるとなるとf'(x)>0を求めればよいのですがこれをどう求めるのかが分からないのです・・・