積分

質問

f(0)=2

∫f(x)sinxdx+∫f''(x)sinxdx=6
の二つが与えられています。これを使ってf(π)を求めるにはどうしたらいいですか？
補足、、上の式の∫f(x)sinxdx+∫f''(x)sinxdx=6
は∫の所に上がπ、下が0がつきます（範囲）。

もうひとつ質問があります。半円の中心が(0,3)半径が3でXの範囲が-3から３の時の面積を求めたいのですが
(x-0)^2+(y-4)^2=3^2
でこれが積分できません。(yが複数あるため）こういう場合はどうしたらいいのでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

参考程度にね

(1)
部分積分法を利用すると、
∫f(x)sinxdx=-f(x)cosx+∫f'(x)cosdxdx
∫f''(x)sinxdx=f'(x)sinx-∫f'(x)cosdxdx
だから
∫f(x)sinxdx+∫f''(x)sinxdx
=-f(x)cosx+f'(x)sinx|[0～π]
=-f(π)cosπ+f'(π)sinπ+f(0)cos0-f'(0)sin0
=f(π)+f(0)=f(π)+2=6
f(π)=4

(2)
x＾2+(y-3)^2=3^2
(y-3)^2=ｒ^2-x＾2
y=3±√(r^2-x＾2)
y1={3+√(r^2-x＾2)}, y2={3-√(r^2-x＾2)}
上半分と下半分の円の式になりますね。
だから上半分と下半分の積分の合計が答えですね。
上半分と下半分は符号が逆を考慮して、
∫[-3～+3]ydx=∫[-3～+3]y1dx-∫[-3～+3]y2dx
∫[-3～+3]{3+√(r^2-x＾2)}dx-∫[-3～+3]{3-√(r^2-x＾2)}dx
=2∫[-3～+3]{√(r^2-x＾2)}dx
x=rcosθ　と置けば、r=3ですから、
√(r^2-x＾2)=rsinθ, dx=-rsinθ
=2∫[π～0]{rsinθ}{-rsinθ}dθ
=4{r＾2}∫[0～π/2]{sin＾2θ}dθ
=4r＾2*(1/2)(π/2)=πr＾2=9π

符号なんかは確認してください。
考え方まで

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

oshiete_goo

∫[0,π]f''(x)sinxdx
の項を，f''(x)を積分する方向で２回部分積分して整理すると，

f(π)+f(0)＝∫[0,π]f''(x)sinxdx＋∫[0,π]f(x)sinxdx＝６

が言えて，f(0)＝２より　f(π)＝４　
となるようです．

後半は
ｙ＝３＋√(9－x^2)　と　ｙ＝３
で囲まれる部分（上側の半円）で良いのなら（違ったら修正してください）

単純に
面積S＝∫[－3,3]√(9－x^2)dx＝2∫[0,3]√(9－x^2)dx
を置換積分(ｘ＝3sinθ)でOK．

お礼

早めの回答ありがとうございました。