十進法以外でも公式は変わらない？

質問

数学の公式は何進法であろうとも、変わることはないはずです。
感覚的にそう思います。
でも、実際にそれを証明しようと思ったらどうすれば良いのでしょうか？
素人ですが、宜しくお願いします。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

十進法は単なる数値の表現方法の１つです。
何進法であろうと数値そのものの値（大きさ）は変わりません。

十進法でしか成立しない公式、例えば、
「整数の各桁の合計が９で割り切れればその数は９で割り切れる」
というような十進法を前提にした公式以外はすべて成立します。

十進法を前提にしていない限り、十進法でしか成立しないと考える必要もないのでは？

お礼

ご回答ありがとうございます。

つまり整数論（名前と大雑把な定義しかよく知りませんが）に基く話は別枠ということなんでしょうか？

回答No.4

proto

＞素数に代表されるような十進法の整数の振る舞いというのは、どうなんでしょうか？

素数の定義は、「2以上の自然数のうち、自身と1以外では割り切れないような数」です。
この定義を読む限り"10進法"という単語は全く出てきませんし、10進法に限って考える必要も全くありませんよね？

2進数に慣れている人なら、「10以上の自然数のうち、自身と1以外では割り切れないような数」と書けば良いでしょう。
漢数字に慣れている人なら、「二以上の自然数のうち、自身と一以外では割り切れないような数」と書けば良いでしょう。
ギリシア数字に慣れている人なら、「II以上の自然数のうち、自身とI以外では割り切れないような数」と書けば良いでしょう。
しかし、これらの表記法によって具体的な素数の値が変わると思いますか？

もう少し別の例も見てみましょうか、
任意の整数a,bを考えたとき、
　　a = q*b +r
(ただし0≦r<b)
を満たすq,rがただ一組存在し、qを「aをbで割った商」、rを「aをbで割った余り」と呼ぶ。
これが割り算の正体なわけですが、この定義にも"10進法"という単語は全く出てきませんし、10進法に限って考える必要性は全く見あたりませんよね。

割り算の結果が何進数であろうと変わらないなら、割り算を駆使して求められる素数も何進数であろうとも変わらないでしょう。
10進数で素数であるものはその他の進数でも素数ですし、その他の進数で素数であるものは10進数でも素数です。

整数論の中で進数が関係する分野と言えば、
そのまんま、実数をp進数表示する方法であったり、有理数m/nがp進数において循環無限小数になる条件や循環節の長さについての議論ぐらいでしょう。
これらは有理数や実数を"どのように表記するか"という問題なので表記法にとらわれるのです。
しかし、数をどのように表記するかという議論が整数論の全てではもちろんありません。

お礼

なるほどー。
しっくりきました。
ありがとうございます。

一般人だなんて、ご謙遜を…

回答No.2

hashioogi

数の表記の問題ですか ?

もしそうであるなら、リンゴの個数を13(10進数表現)と書こうが、1101(2進数表現)と書こうが、リンゴが十三個ということに違いはありませんので、数学の公式も変わらないです。もし表記が違うと公式が変わるとなると、そもそもコンピュータは大変なことになると思いますが ?

お礼

ご解答ありがとうございます。

「量」は表記法によって変わることがない。
よって、「量の関係」も表記法によって変わることはない。

ですよね。

では、素数に代表されるような十進法の整数の振る舞いというのは、どうなんでしょうか？
他の表記法でも同じ？なんでしょうか？
何かこう、うまく言えないのですが…

回答No.1

Tacosan

何をもって「公式」と呼ぶかにもよりますが, 例えば
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
は 2進法の世界には存在しないですよね.

補足

すみません、もう少し詳しくお願いします…
なぜ二進法では表現できないのでしょう？