東京都市大学の入試問題です

質問

∫[-1→0] x^2/(1+e^x) dx = ∫[0→1] x^2/(1+e^(-x)) dx

↑　x^2/1+e^xを-1から0まで積分したものと
　　 x^2/1+e^－xを0から1まで積分したものが等しいことを示せ
という問題なのですが・・・
x=－t とおくと解決するらしいのですがよくわかりません
両辺積分できるのでしょうか
また・・・さらに
∫[-1→1] x^2/(1+e^x) dx
を求めたいのですが
積分ができないのです
おしえてください
お願いします

回答No.1

info22

∫[-1→0] x^2/(1+e^x) dx
=∫[1→0] t^2/(1+e^(-t)) (-1)dt (x=-tと置換積分する)
=∫[0→1] t^2/(1+e^(-t)) dt　（積分の上限と下限を入れ替える)
=∫[0→1] x^2/(1+e^(-x)) dx (積分変数をtからxに変更）
(終わり)

∫[-1→1] x^2/(1+e^x) dx
=∫[-1→0] x^2/(1+e^x) dx+∫[0→1] x^2/(1+e^x) dx
=∫[0→1] x^2/(1+e^(-x)) dx+∫[0→1] x^2/(1+e^x) dx
=∫[0→1] [x^2/(1+e^(-x)) + x^2/(1+e^x)] dx
=∫[0→1] [x^2*e^(x)/(1+e^(x)) + x^2/(1+e^x)] dx
=∫[0→1] x^2*[e^(x)/(1+e^(x)) + 1/(1+e^x)] dx
=∫[0→1] x^2dx
=[(1/3)x^3] (x=1) - [(1/3)x^3] (x=0)
=1/3