東京都市大学の積分の入試問題です

質問

東京都市大学の入試問題です
∫-1~0　ｘ^2/1+e^x = ∫0~1　x^2/1+e^-x

↑　x^2/1+e^xを-1から0まで積分したものと
　　 x^2/1+e^－xを0から1まで積分したものが等しいことを示せ
という問題なのですが・・・
x=－t とおくと解決するらしいのですがよくわかりません
両辺積分できるのでしょうか
おしえてください
お願いします

回答No.2

info22

∫[-1→0] x^2/(1+e^x) dx
x=-tと置換すると dx=-dt, {x|-1→0}⇒{t|1→0}となって
=∫[1→0] t^2/(1+e^(-t)) (-1)dt
積分の上限と下限を入れ替えると符号が変わり被積分関数の(-1)と打ち消して
=∫[0→1] t^2/(1+e^(-t)) dt
積分変数をtからxに変更しても定積分は変化しないから
=∫[0→1] x^2/(1+e^(-x)) dx
(終わり)

∫[-1→1] x^2/(1+e^x) dx
積分を分割して
=∫[-1→0] x^2/(1+e^x) dx+∫[0→1] x^2/(1+e^x) dx
前半の変形を適用して積分範囲をそろえて
=∫[0→1] x^2/(1+e^(-x)) dx+∫[0→1] x^2/(1+e^x) dx
積分を合体して
=∫[0→1] [x^2/(1+e^(-x)) + x^2/(1+e^x)] dx
被積分関数を簡単化すると
=∫[0→1] x^2dx
後は出来るでしょう。

回答No.1

naniwacchi

少し見やすい形に書き換えておきます。

∫[-1→0] x^2/(1+e^x) dx = ∫[0→1] x^2/(1+e^(-x)) dx

「x=－t とおくと解決する」ならば置いてみましょう。
右辺で置き換えることを考えます。
被積分関数の分子と分母の計算はいいと思います。
積分区間ですが、xのとき 0→1ならば、tのときはどういう範囲になりますか？

あと、dxは -dtに置き換わります。

お礼

ありがとうございます。　説明が簡単でわかりやすかったです。
ただ・・・さらに　
∫[-1→1] x^2/(1+e^x) dx
を求めたいのですが
積分ができないのです
よければまたお願いします。