数学です☆

質問

cosx＝sin2x・・・・①
2sinx＝a－cos2x・・・②

この二つを満たすaが
a＝－3,1,3/2

なのですが、解き方を教えて下さいお願いします☆

回答No.1

-somebody- · ベストアンサー

三角関数の2倍角の公式を覚えていらっしゃいますか？
もしお忘れのようなら
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=cos^2θ-sin^2θ=2cos^2θ-1=1-2sin^2θ
(sin^2θは「sinθの二乗」の意味です。)

こちらを使ってやると
(1)式は
cosx＝sin2x・・・・(1)
cosx=2sinxcosx
ここで
cosxで割ってしまうとcosx=0かどうかを判定しなければいけなくなるので(式を0で割ってはいけないから)
cosx(2sinx-1)=0
これを満たすのは
cosx=0または
sinx=1/2ですね。

同様に(2)式も解いてみましょう。
cos2θ=cos^2θ-sin^2θ=2cos^2θ-1=1-2sin^2θ
この公式はどれをつかったらいいか迷うところかもしれませんが
cos2θ=1-2sin^2θ
とすると
両辺がsinxだけの式になるのでそれをつかえば
二次方程式にもっていけますね。

2sin^2x-2sinx-1+a=0
これに(1)の結果を代入してみましょう。
(1)sinx=1/2となるとき
1/2-1-1+a=0
a=3/2

(2)cosx=0となるとき
こちらは注意が必要です。
cosx=0となるとき
sinx=1
だけではありません。
sinx=-1もありえるので
両方の場合を考えます。

sinx=1なら
2-2-1+a=0
a=1

sinx=-1なら
2+2-1+a=0
a=-3

となりますね。

三角関数の2倍角・3倍角はぜひとも暗記するべき公式ですので
出来るだけ素早く思い出せるように出来るとよいはずです。

お礼

ご解答ありがとうございます☆
２倍角の公式を忘れていました♪
とてもわかりやすい解答で大変助かりました★