たわら型の容積

質問

円柱形の容器の内容量を計算で推測したいと思います。
円柱ですと、100リットルほどのものですが、実際は上下が丸くなっており、つまり「たわら」のような、ちょうちんのような形です。
別な言い方をしますと、真横から見た場合、円柱なら長方形に見えますが、四隅にアールがついているわけです。プロパンガスのボンベのようなものです。
縦に真っ二つに割った時の断面の面積は出せます。しかし、断面積だけでは容積の算出は不可能だと思います。
そこで、全高と円筒部分の直径が判っていて、この四隅のアールが真円の四分の一であったとすると、そして、アールの半径が判っているとすれば、容積は計算で出せるでしょうか?

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回答No.7

info22 · ベストアンサー

#1,#5,#6です。
全高（全長）H , 四角削ぎ落とし曲線半径 r , 円柱部分の長さ (H-2r) ,
円柱部分半径 R = 2r の場合の立体の容積 V (容器の厚さは無視)、
とした立体の概形図を描いて添付します。
両端の中心部は平面（半径r）になっています。

円筒部分（円柱）の容積
V1=π(R^2)(H-2r)

両側の削ぎ落とし部分（厚さ r）の容積（左右2個分）
V2=2∫[0,r]{r+√(r^2-x^2)dx=π(r^2){2+(π/2)}

全体の容積は
V=V1+V2=π(r^2){2+4H+(π/2)-8r}
ただし、r=R/2

回答No.8

info22

#1,#5,#6,#7です。

A#7の計算を見直していた所
計算ミスがありましたので以下のように訂正します。

>両側の削ぎ落とし部分（厚さ r）の容積（左右2個分）
>V2=2∫[0,r]{r+√(r^2-x^2)} dx=π(r^2){2+(π/2)}
V2=2∫[0,r]{r+√(r^2-x^2)}^2 dx=π(r^3){(10/3)+π}

>全体の容積は
>V=V1+V2=π(r^2){2+4H+(π/2)-8r}
V=V1+V2=π(r^2){4H+πr-(14/3)r}

>ただし、r=R/2

お礼

info22さん、ありがとうございました。
次の質問でのお礼に書き忘れましたが、ｒ というのはround かと思っていました（^○^）ＣＡＤなどで出てくる、ラディアス曲線のｒだったんですね。また、直径が「Diameter」ということも、勉強になりました。
いろいろとありがとうございました。

回答No.6

info22

A#1の補足,A#5で求めた容積の立体の形状を描いてみましたので添付します。

補足

たいへん親切にありがとうございます。
上下が半球形ということで、実質的には把握できるとおもいます。
見事な図まで描いていただいて、たいへん分かりやすいです。
ただ、私が思っていましたのは、肩/底面部分が丸くアールがとれている形状で、上底面はフラットな部分があります。(実容量は近似なので、代替にはなりますが、数学的興味でしたので・・・)そこで、苦労して図面を描きました。最初から図面をお見せしていなくて、申し訳ありません。これを一度添付しましたが、見づらい画像でしたので、編集しようと削除しましたら、再アップ出来ない様です。
どうしても、アップできませんでしたら、再質問でアップしますんで、また、よろしければ、お答えをいただきたいと思います。
この最初の質問にアップできるようになっていれば、このまま、ここで、ご指導ください。では、またよろしくお願いします。
ありがとうございました☆

回答No.5

info22

#1です。
A#1で質問しましたが
Rとrの関係がはっきり書いてなかったので質問しました。
A#1の補足の所の説明では
R=dと考える以外にRとrの関係が書かれておらず、
最初の質問では、
>四隅にアールがついているわけです。
>この四隅のアールが真円の四分の一であったとすると

とあってrがRより小さいように推察されましたので確認したわけです。
A#1の補足の回答の通り
r=Rのようですので、両端は半球と理解しましたが、それでよろしいですか。

そうであれば、
中央の円筒の筒の部分の容積（容器の厚さは無視）は

V1=π(H-2r)(R^2)

両側の半球をあわせた容積(2つで半径rの球の容積に等しくなる)は

V2=(4/3)π(r^3)

全体の容積Vは
V=V1+V2=π(H-2r)(R^2)+(4/3)π(r^3)
ｒ＝Rなので
V=(H-2R+(4/3)R}πR^2={H-(2/3)R}πR^2
となるかと思います。

両端の形が半球でない場合は、補足でその形状とrとRの関係を補足して下さい。

回答No.4

nakayan57

追記＃３です。
計算式の参照ＵＲＬ
http://naop.jp/text/3/seki15.html

回答No.3

nakayan57

面積の分かる円を回転させてできる回転体（球体）の体積を求めるというやり方と同じですね。

要するに積分使って計算してください。

回答No.2

nag0720

縦に真っ二つに割った時の断面の境界線を式で表現できれば、
回転体の体積を求める方法で計算できます。

回答No.1

info22

>断面積
>この四隅のアールが真円の四分の一であったとすると
>全高と円筒部分の直径が判っていて
>アールの半径が判っているとすれば、
>容積は計算で出せるでしょうか?

これだけでは両端の形状が確定しません。
分かっているなら、上の各寸法や断面積の具体的な数値を書いて下さい。
全高だけでなく円柱部分の長さも補足に書かいてください。
出来れば図も描いて添付して下さい。

補足

info22さん、ご回答ありがとうございます☆
質問が不備ですみません。図で描こうと思いましたが、不慣れなもので、ちょっとそれをやる前に文章で表現させていただこうと思います。不明瞭をお許し下さい。
最初の質問文の用語を元に申します。
Ａ.全高＝Ｈ
Ｂ.アールの半径＝ｒ
Ｃ.円筒部分(つまりアールがかかっていない完全な直筒部分のことす)の長さ＝Ｈ-2ｒ・・・・これがあなたのおっしゃる『円柱部分』かもしれません。
Ｄ.円筒部分の直径(＝全体の最大径)＝Ｒとします。
これで形状は確定できると思いますがどうでしょうか?不明でしたらがんばって、図を描いてみます。
実寸は、山歩きの山頂に置いてある容器の内容積ですので、まだ測っていません。同品を買おうかどうかという実際的な動機なのですが、その前に数学的に判明させたいという学問的興味です。
積分は学んでおりませんので、ご質問しました。
よろしくお願いします。