※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：立体の求積(非回転体の求積)）
立体の求積(非回転体の求積)
このQ&Aのポイント
東京大学2005年の第6問で与えられた立体の体積を求める問題について、問題文の不等式をy=tとして切断した図形の断面積を計算する方針で解くことを試みましたが、正しい値を得ることができませんでした。
東大数学25ヵ年やインターネットにある解法では、x=tとする方法が主流であり、Arcsinを扱わないことが多いです。
積分計算が煩雑なため、どこかで計算ミスがある可能性があります。間違いに気づかれた場合は、指摘をお願いします。
----------以下引用---------------------------
東京大学2005年の第6問
rを正の実数とする。xyz空間において
x^2+y^2≦r^2
y^2+z^2≧r^2
z^2+x^2≦r^2
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。
------------以上引用-------------------------
この問題を以下の方針で解いたのですが
どうも答えが合わなくて困っています。
なお
計算過程で定積分が出てきますが
テキスト形式での定積分の記法を知らなかったので
a→bとなる区間で
k×f(x)を積分するとき(kは定数)
k[a,b]∫f(x)dx
としました。
求める立体図形を
y=tとなるxz平面で切断した図形を考える。
問題文の不等式をy=tとして解くと
-√(r^2-t^2)≦x≦√(r^2-t^2)
z≦-√(r^2-t^2),√(r^2-t^2)≦z
x^2+z^2≦r^2
-r≦t≦r
(1)-r≦t≦-r/√2,r/√2≦t≦rのとき
求める立体図形y=tとなるxz平面で切断したときの断面積は
πr^2-4(r^2-t^2)-4[√(r^2-t^2),r]∫√(r^2-x^2)dx
計算すると
4t^2+2t√(r^2-t^2)+2r^2Arcsin√{1-(t/r)^2}-4r^2
yについて対称なので
2[r/√2,r]∫(4t^2+2t√(r^2-t^2)+2r^2Arcsin√{1-(t/r)^2}-4r^2)dt
=[r/√2,r](8/3t^3+4r^2tArcsin√{1-(t/r)^2}-4r^2√(r^2-t^2)-8r^2t)+[0,r^2/2]{4/3x^(3/2)}
=(-16/3+17√2/3-π/√2)r^3
(2)-r/√2≦t≦r/√2のとき
(1)と同様にして
断面積は
2r^2Arcsin(t/r)-2t√(r^2-t^2)
積分すると
2[0,r/√2]∫{2r^2Arcsin(t/r)-2t√(r^2-t^2)}dt
=(5√2/3-8/3+π/√2)r^3
(1),(2)あわせて
(-8+22√2/3)r^3
となるのですが
正しい値は(8√2-32/3)r^3
東大数学25ヵ年と
インターネットにある解法は
・x=tとする方法しか載っていない
・Arcsinを扱っていない
以上の理由からあまりこの方針に対して参考にはなりませんでした。(一応x=tとおいて自分で計算した時は正しい値が得られました。)
かれこれ一ヶ月ほどどこが間違いなのか悩んでいますが
未だにわかりません。
積分計算が煩雑なのでどこかで計算ミスなどしていると思うのですが。。。
大変見辛くなってしまいましたが
間違いにお気づきになられましたらご指摘お願いします。
お礼
ご指摘ありがとうございます。 -4t√(r^2-t^2)}dt ここの積分で正負を逆にしていたようです。 (2)の積分結果は (-16/3+7√2/3+π/√2)r^3でしたね。