高校数学、積分を用いた回転体の体積の求め方

質問

「l:y=1/2x と C:y=1/2x^2 で囲まれる図形を、
　lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ」

という問題で、

C上の点P(t,1/2t^2) (0≦t≦1)を通り、lに垂直な直線をmとおくと、
m:y=-2x+1/2t^2+2t である。
mとlの交点をQとおくと、
-2x+1/2t^2+2t=1/2x
x=(t^2+4t)/5よりQの座標は、
Q((t^2+4t)/5,(t^2+4t)/10)である。 …(※)
PQ^2=(t-(t^2+4t)/5)^2+(1/2t^2-(t^2+4t)/10)^2
　　　 =(t^4-2t^3+t^2)/5
よって、V=π∫[0,1]PQ^2dt=π/150である。

という解き方をしました。
正解は、V=π/(60√5)なのですが、どこが間違っていたのかがわかりません。
問題集の解法では、※より以下、OQ=aとおきそのaを積分変数として解いています。

どなたかわかる方、ご教授くださると大変ありがたいです。

回答No.2

nious · ベストアンサー

傾きがmの直線を軸にして回転させる場合には一般に、
V=π√(1+m^2)∫[t=a～b]{f(t)}^2dt とする必要があります。

直角三角形の底辺と斜辺の関係を考えると分かります。

お礼

回答ありがとうございます。
回転軸や長さの関係を正しく理解していなかったようです。

回答No.1

pascal3141

最後のtでの積分（V=π∫[0,1]PQ^2dt）が、x方向なのでうまくいきません。（斜めになっているため）lに垂直な方向に切った円盤を集めて体積にするので、OQ=aとおきそのaを積分変数として解く必要があります。

お礼

回答ありがとうございます。
回転軸をt軸とすれば、x軸で考えたら上手くいかないのは道理ですね。