コーシー分布の再生性

質問

正規分布などのコーシー分布以外の再生性の証明法は
分かるのですがコーシー分布だけ出来ません。

パラメータα、βのコーシー分布の密度関数は

f(x)=α／π×(α^2+(x-β)^2)　　とします。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

このサイトには立派な「専門家」が大勢いらっしゃるのにどうして回答して下さらないのでしょう。
特性関数をΨfとすると
　Ψf(u) = α/π∫dx exp(iux)/(α^2+(x-β)^2)
これは留数定理で容易に計算でき、
　Ψf(u) = exp(iuβ - α｜u｜)
もう一つのコーシー分布
　g(x) = α/π×(α'^2+(x-β')^2)
とのたたみ込みをf*g とすると
　Ψf*g(u) = Ψf(u)Ψg(u) = exp(iu(β+β') - (α+α')｜u｜)
だからコーシー分布は再生性を持つ。
きっと「専門家」には簡単すぎるのでしょうね。

お礼

ありがとうございました