多次元正規分布の同時密度関数を理解するには

質問

２次元正規分布の同時密度関数については導出できたのですが、
多次元正規分布の同時密度関数については、
テキストで導出法が省略されており理解ができません。

導き方のテクニックまたは参考書、参考サイトについて教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

> 確率変数間の相関が０ではない場合の同時密度が分かりません。

　あ、そうでしたか。するとこれは多変量解析の基礎のカンドコロのひとつであって、詰まらん「テクニック」の話なんかじゃないですよ。

　正規分布に従う確率変数x[1]とx[2]が相関を持つ場合、互いに独立な確率変数z[1],z[2]がどちらも標準正規分布に従うとして、定数A[1,1]～A[2,2]を使って
x[1] - m[1] = A[1,1] z[1] + A[1,2] z[2]
x[2] - m[2] = A[2,1] z[1] + A[2,2] z[2]
と表せる。（m[j]はx[j]の期待値です。）
　だから（ANo.1で述べた）z[1],z[2]の同時確率分布を考えて、それからzを上記の式でxに変数変換してやれば、それがx[1],x[2]の同時確率分布です。
　確率変数がいっぱいある場合も同様で、x[1],x[2],…,x[n]は互いに独立（つまり直交）な確率変数z[1],z[2],…,z[n]の線形和として表せるから、行列を使って
x-m = Az
と書ける。ここでxはx[1], x[2],…, x[n]の縦ベクトル、mはx[j]の平均値を並べた縦ベクトル、zは標準正規分布に従う互いに独立なn個の確率変数を並べた縦ベクトル、Aはn×nの実数値行列です。変数変換は、Aの逆行列を使って
z = (A^(-1))(x-m)
ですね。Aは、xの共分散行列をコレスキー分解（あるいはLU分解）することによって作れます。（参考資料はキーワードから探せるでしょう。）

お礼

ご回答いただいたことをもとに
調べてみたところ理解できました。
ご丁寧にありがとうございました。

回答No.1

stomachman

導出？ですか？
　それぞれ正規分布に従う確率変数x[1],…,x[n]が互いに独立であるとき、同時確率を考える。すると、その確率密度関数はそれぞれの確率変数の確率密度関数の積になる。以上。終わり。ですけど。

　これが分かんないとすると、えーと、どうするかな。分布のことは一度忘れて、と。

　偏りのないサイコロが1個と、偏りのないコインが1枚あります。両方を投げたとき、「サイコロの目が1で、コインが表」ということが同時に起こる確率は幾らですか？　というのが、互いに独立な確率変数に関する同時確率ってことですね。両方の確率を掛け算した 1/6 × 1/2 が答です。

　さて、確率変数x[1]が連続値を取り、確率密度関数φ[1](x)を持つ分布に従うとする。だから、x[1]が p[1]～p[1]+Δp[1]の範囲に入る確率はφ[1](p[1])×Δp[1]です。x[2]についても同様に、確率密度関数φ[2](x)を持つ分布に従うとします。x[1]とx[2]が独立であるとき「x[1]が p[1]～p[1]+Δp[1]の範囲に入り、x[2]が p[2]～p[2]+Δp[2]の範囲に入る」ということが同時に起こる確率（つまり同時確率）は幾らですか？掛け算ですから、 φ[1](p[1])φ[2](p[2])Δp[1]Δp[2] ですね。で、

φ(p[1], p[2]) = φ[1](p[1])φ[2](p[2])

と書くだけのこと。変数の数が増えても同じことですし、何も正規分布に限った話ではありません。

補足

ご回答ありがとうございます。
説明不足ですみません。
確率変数間の相関が０ではない場合の同時密度が分かりません。