極限の問題

質問

((x^2)*y)/(x^4+y^2)が(x,y)→(0,0)のとき極限を持つか？
持つならば、その極限ともつ理由を、持たないならばその理由を示せ。
という問題なのですが、分母のほうが次数が高い関数の問題を解いたことががないので何をしたらいいのか分かりません。
どなたか教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

y=x^2の関係を保ちながらx→0とすると
((x^2)*y)/(x^4+y^2)=(x^4)/(2(x^4))=1/2 → 1/2 (x→0) …(●)

y=-x^2の関係を保ちながらx→0とすると
(●)と異なる極限値に収束しませんか？

異なる値に収束することから、極限値の定義から
極限値は存在しないことが分かる。

補足

ありがとうございます。
y=-x^2の関係を保ちながらx→0とすると
((x^2)*y)/(x^4+y^2)=-(x^4)/(2(x^4))=-1/2 → -1/2 (x→0)
となって(●)と異なる極限値に収束しました。
よって極限値は存在しない。
これで正解でしょうか？

回答No.2

info22

#1です。
A#1の補足の回答
>y=-x^2の関係を保ちながらx→0とすると
>((x^2)*y)/(x^4+y^2)=-(x^4)/(2(x^4))=-1/2 → -1/2 (x→0)
これはOKです。

>　よって極限値は存在しない。
>　これで正解でしょうか？
もちろんOKです。

A#1の中の最後に書いた通りです。

きく以前に極限値の存在条件を自身で、教科書、参考書、ネット等で確認しておいて下さい。

お礼

ありがとうございました。
これからはちゃんと調べた上で質問をします。