論理式と命題について教えてください。お願いします。

質問

問題
主張　『　∀ε＞０,∃n₀＝n₀(ε)；１/n≺ε,∀n≥n₀(ε)　』
のn₀(ε)に対して、『sin(1/n) ≺ε, ∀n≥n₀(ε)』は正しいか？述べよ。また、主張を日本語でかけ。

ｎを大きくしていくと、sin(1/n)は０に限りなく近くなる、ことはわかります。
ただ、厳密な証明方法はどのようにすればいいのでしょうか？

また、日本語表現は、「任意の正の数εに対し、あるεに依存するn₀が存在し、そのn₀以上のすべてのｎに対し、１/n小なりεをn₀は満たす。」としました。誤っているところがありましたら教えてください。

回答No.2

sub_6 · ベストアンサー

日本語表現は

「任意の正の数εに対し、εに依存するn₀が存在し、そのn₀以上のすべてのｎに対し、１/n　が εより小さくなる」

で十分です。

『sin(1/n) ≺ε, ∀n≥n₀(ε)』というのは

「n₀以上のすべてのｎに対し、sin(1/n) がεより小さくなる」

ということですが、

n≥n₀(ε) のもとで 1/n ≺ε は成り立っているので、

sin(1/n) < １/n を示せば十分です。
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三角比に立ち返り、xy平面上の単位円を考えます。

1/n が 点 P＝(1,0) から反時計回りに進んだ弧 PQ の長さ、
sin(1/n) が 点 Q の y 座標になります。
x軸を対称軸にし、下向きに同じ長さの弧PRを描くと、

2/n が弧QRの長さ、2 sin(1/n) が弦QRの長さという関係になります。
弧の長さは弦の長さより大きいので、2sin(1/n) < 2 /n が成り立ちます。

厳密には、弧の長さは、弧の上で、(両端を含む)有限個の点をとり折れ線でつないだものの長さの上限として定義されるため、やはり弦の長さより大きくなります。

回答No.1

rinkun

限量子∀が論理式の前にあったり後にあったり分かりにくいですね。
限量子は全て前に出てくるのが分かりやすいと思いますが・・・

それはさておき
一般にx>0についてsin(x)<xですよね。
sin(1/n)<1/n<ε
で良いのでは?