積分

質問

次の問題がわからないので質問させてください。

∫dx/(x^2+1)^3　（ｘを０から∞に変化させるとき）
をもとめよという問題で、留数定理をつかってとくのでしょうがよくわかりません。
積分範囲がー∞から∞のときは上半分の円に含まれる留数の和の２πi倍ですよね？
この場合は第一象限に含まれる留数を求めればよいのですか??

どなたかお願いします。

回答No.1

nious · ベストアンサー

x=tan(θ)とおくと半角の公式から、
∫[θ=0～π/2]cos^4(θ)dθ=(1/4)∫[θ=0～π/2](3/2)+2cos(2θ)+cos(4θ)/2dθ=3π/16 かな。

回答No.2

oyaoya65

1/(1+z^2)^3をz=iの周りのローラン展開して、z=iにおける留数を求めると
-(3/16)i
となります。
元の積分Iを複素積分に直すと
I=(1/2)∫[-∞,∞] dx/(x^2+1)^3　
　← 積分範囲を[-∞,∞]とすると積分値が２倍になるので(1/2)倍が付く。
=(1/2)∫_c dz/(z^2+1)^3, cは|z-i|<1
　← 周回積分経路Cに沿った複素積分に変換
=(1/2)*2πi*(-3/16)i
　← 留数定理、留数はローラン展開から求めたものを使用。
= ... ←　あとは自分でできますね。