東工大 院試が近いです 問題教えて 積分

質問

aを正の実数として次の積分を求めよ
∫∞～ー∞ｄｘ1/（ｘ＾４＋a^4）
複素積分で留数定理使えばいいんですか
できれば他の方法を教えて下さい

回答No.4

kinngan-shufu

少し、ずるい方法ではありますが、
岩波　「数学公式I」集　p.90　に載ってます。

これじゃあ、満足できませんかね？

回答No.3

rnakamra

#1,2のものです。

寝ぼけていたみたいで、間違えていました。
これは不定積分を全てきちんと計算しないといけないようです。

#1での
>被積分関数を次の通り変形する。
>1/(x^4+a^4)=1/{(x^2+(√2)ax+a^2)(x^2-(√2)ax+a^2)}

>これを部分分数に分解する。
>1/{(x^2+(√2)ax+a^2)(x^2-(√2)ax+a^2)}=(αx+β)/(x^2+(√2)ax+a^2)+(γx+δ)/(x^2-(√2)ax+a^2)

>計算するとα,β,γ,δを一意的に決定できます。(自分で計算してください)

>さらに積分計算できるように次のように変形する。(前の項についてのみ説明する)
>(αx+β)/(x^2+(√2)ax+a^2)=(α/2)(2x+(√2)a)/(x^2+(√2)ax+a^2)+(β-aα/√2)/(x^2+(√2)ax+a^2)

ここまで計算し、一つ目の項はすぐに積分できます。
二つ目の項は#2にある変数変換を行えばやはり積分できます。

もう一つの分数式も同様に変形、積分します。
後は積分範囲を[X,Y]としてX→-∞,Y→∞の極限を取ればOK。

計算量は留数定理を用いたほうが圧倒的に少ない。
留数の計算もロピタルの定理を使えば簡単に出るため、不定積分が必要ないなら上記の方法はあまりお勧めしません。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。
完全に間違ったことを言ってました。修正します。

さらに積分計算できるように次のように変形する。(前の項についてのみ説明する)
(αx+β)/(x^2+(√2)ax+a^2)=(α/2)(2x+(√2)a)/(x^2+(√2)ax+a^2)+(β-aα/√2)/(x^2+(√2)ax+a^2)

上記の変形は必要ありません。
分子の1次の項は、もう一つの分数式から出てくる項とあわせると奇関数となるため積分するとゼロになります。
よって
β/(x^2+(√2)ax+a^2)
を積分する必要がある。
これは

β/(x^2+(√2)ax+a^2)=β/{(x-a/√2)^2+a^2/2}
と変形すると、x-a/√2=(a/√2)tanθと置換すると簡単に積分できることがわかります。

回答No.1

rnakamra

物理系の院試の問題だとは思うけど、この手の問題は数学カテで聞いたほうが良いと思います。純粋に数学の問題なのだから。

複素積分を使わずに計算することは可能です。wolfram alphaに入力すると不定積分を求めることも出来るようですが、一部の計算ははしょっても問題はなさそうです。(一部奇関数となるため無視できる項になる)

被積分関数を次の通り変形する。
1/(x^4+a^4)=1/{(x^2+(√2)ax+a^2)(x^2-(√2)ax+a^2)}

これを部分分数に分解する。
1/{(x^2+(√2)ax+a^2)(x^2-(√2)ax+a^2)}=(αx+β)/(x^2+(√2)ax+a^2)+(γx+δ)/(x^2-(√2)ax+a^2)

計算するとα,β,γ,δを一意的に決定できます。(自分で計算してください)

さらに積分計算できるように次のように変形する。(前の項についてのみ説明する)
(αx+β)/(x^2+(√2)ax+a^2)=(α/2)(2x+(√2)a)/(x^2+(√2)ax+a^2)+(β-aα/√2)/(x^2+(√2)ax+a^2)
前の項の分子は(α/2)*(x^2+(√2)ax+a^2)'ですので簡単に積分可能。
後ろの項については、もう一つの分数式から出てくる項と足し合わせると奇関数になります。(wolframの計算結果を信じると、だが)

計算量が多く、実際に回答に書くためには最後の奇関数であることの確認も必要となります。計算に自信があるならこの方法で計算しても良いとは思いますが、複素平面上で適当な閉じた経路の積分を行うほうが計算は楽です。