先日尋ねた問題でまた不明点が出たので教えてくれませんか？

質問

(2)接線が両座標軸から切り取られる部分の長さがｋ(一定)である曲線を求めよ。　　答え：y＝cx＋kc/√(1+c^2)　またはAsteroid x^(2/3)＋y^(2/3)＝k^(2/3)

とりあえず接線をｌ:mx-y+b=0　とした場合に、求める曲線はこの直線群、あるいは直線群の包絡線であることは教えていただいて判りました。ｂをｋ，ｍで表わすと　ｂは±の形で出てきました。

今のところはココで終わっておいて、次に求める曲線は包絡線なので教科書通りに ｍをパロメーターとする
ｇ(x，y，m)＝0
ｇm(x，y，m)＝0　(←ｇをｍで偏微分)
でｍを消去したら当然ですが上の　±　によって答えが変わりました。
一方(－の時)はアステロイド曲線の形になり、もう一方は(＋の時)スッキリしないまま計算が止まりました。

ここで質問なのですが、解答の　ｙ＝ｃｘ＋～　　はどういう意味なのでしょうか？　接線がこのようになる曲線はこの直線自身だけという事？
どうも要領を得ない質問で申し訳ないのですが、y＝cx＋kc/√(1+c^2)　の直線群の包絡線は存在しないのでしょうか？

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足について
>＞　k＞0であれば～
ｋは長さだから常にｋ＞０じゃないんでしょうか？そのつもりで前提で考えてましたが…

過去の質問の中にあるkについては、今回の質問中に何も書いて長さということはわかりませんでした。

k＞0であれば
ｙ＝ｃｘ＋k～　
の式からはY軸の左の部分（第2、第3象限の曲線部分）のアステロイド曲線の包絡線しか出てきません。
なので
ｙ＝ｃｘ－k～　
の式を加えると
Y軸の左の部分（第1、第4象限の曲線部分）のアステロイド曲線の包絡線も出てきます。

したがって
>当然ですが上の　±　によって答えが変わりました。
ｙ＝ｃｘ±k～
の式が必要になるということでしょう。

回答No.2

info22

>先日尋ねた問題でまた不明点が出たので教えてくれませんか？
過去の質問に関連した質問は、必ず過去の質問のURLを引用すること。

>解答の　ｙ＝ｃｘ＋～　　はどういう意味なのでしょうか？
過去の質問に関連した質問なら、経緯が分かりません。

>接線がこのようになる曲線はこの直線自身だけという事？
そうではありません。cをパラメータとして変化させて見れば分かることで、直線自身にならないことは明らかです。

>答え：y＝cx＋kc/√(1+c^2)
これのことであれば、
k＞0であればアステロイドの曲線の、第2、第3象限の部分に接する接線を表し、
k＜0であればアステロイドの曲線の、第1、第4象限の部分に接する接線を表します。

>またはAsteroid x^(2/3)＋y^(2/3)＝k^(2/3)…(■)
このアステロイド曲線に直線群：y＝cx＋kc/√(1+c^2)のすべてが接します（cを変化させると、アステロイド曲線に接しながら接線が移動して動きます。）。

>y＝cx＋kc/√(1+c^2)　の直線群の包絡線は存在しないのでしょうか？
この直線群：y＝cx＋kc/√(1+c^2)　の包絡線が、アステロイド曲線：
x^(2/3)＋y^(2/3)＝k^(2/3)
になります。
アステロイド曲線(X軸対称,Y軸対称,原点対称の曲線)の正確な表現は
|x|^(2/3)＋|y|^(2/3)＝|k|^(2/3)
または
(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)=(k^2)^(1/3)
と書かないといけませんね。

お礼

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5205535.html
>過去の質問に関連した質問は、必ず過去の質問のURLを引用すること。

それが当然でしたね。気付きませんでした
ｙ＝ｃｘ＋～　は察しの通り　y＝cx＋kc/√(1+c^2)
の事です。私が計算したときにy＝cx±kc/√(1+c^2)
となり、マイナスのときはアステロイド曲線の形に変形できたのですがプラスの時には纏まらなかったので、プラスのときとマイナスのときで分けて解答を(教科書が)書いていると思ったためy＝cx＋kc/√(1+c^2)は何を指すのかお尋ねしたかったのです。

＞　k＞0であれば～
ｋは長さだから常にｋ＞０じゃないんでしょうか？そのつもりで前提で考えてましたが…

え～、今寝て起きて改めて考えてたら普通に変形できました。何やらｃ(私の場合はｍ）の消去の仕方が拙かったようです。　
こまかく疑問に答えてくれてありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

asteroid の式で k を -k に置き換えても同じですよね.
ざっと考えてみたわけですが, y = cx + kc/√(1+c^2) とこれを c で偏微分した式を連立して c を消せばやっぱり x^(2/3) + y^(2/3) = k^(2/3) が出ませんか?

お礼

あ～、はい。出ました。
何やらｃ(私の場合はｍ）の消去の仕方に問題があったようで、
ｇm(x，y，m)＝０
からｍをｘ、ｋで表してｇ＝０に代入してたんですが、今ｇmにｍを掛けてｍｘを消去して～という順序にしてｍを消去したら普通に出ました。
少し順番変えるだけで結果が変わるから数学は不思議です。
ありがとうございました。