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問題の解き方を教えてください
１から９までの数字を１つずつ書いた９枚のカードがある。このカードを裏返してよくかき混ぜたあと、１枚ずつ裏面に１から９までの数字を１つずつ書いていく。このとき９枚中５枚だけ表と裏の数字が一致する確立はいくらか？ どのように考えれば解けるのか教えてください。お願いします。
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この問題の前に、 「１から４までの数字を１つずつ書いた４枚のカードがある。このカードを裏返してよくかき混ぜたあと、１枚ずつ裏面に１から４までの数字を１つずつ書いていく。このとき、４枚とも表と裏の数字が一致しない確率はいくらか？（あるいは場合の数は何通りか？）」 という問題はありませんでしたか？ 上の問題なら、そもそも全部で２４通りしかなく、そのうち該当するのが９通りであることは、書き出すなりなんなりで対応できます。（＊） 実は、ご質問の問題は、これと密接に関係していて、 結論からいうと、（9C5×９）／９！が答えです。 分子のうち、9C5は、１～９の数字のうち、表と裏が一致する数字５つを選んでいます。 そのうしろの９というのが、まさに（＊）で言った９通りです。（４つのものを並べたときに、表と裏が一致しない並べ方） この、「○番目に○がこない並べ方」というのは「名刺順列」「完全順列」という名前がついていて、この問題は、まさにこれがテーマになっています。
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すみません。#7＆#8の者です。 本当に勘違いしてました。 #7＆#8は共に正しくないことに気づきました。 #2の方が正解だと思います。 本当にすみませんでした。
#7に補足します。 #7は最初の５枚が「当たり」最後の４枚が「はずれる」確率でした。 問題は、ただ「９枚中５枚だけ表と裏の数字が一致する」 つまり、ただ９枚中４枚「はずれる」だけですので、 #7で導いた式の答えにさらに、９枚中４枚「はずれる」組合せを 掛けなければなりません。すなわち １／９＊１／８＊１／７＊１／６＊１／５＊３／４＊２／３＊１／２＊１／１＊（９＊８＊７＊６）／（４＊３＊２＊１） となるわけです。 間違えてしまってすみません。
９枚のカードから１枚取って、数字を書こうとするカードが本当にその数字に「当たる」確率は、１／９です。残った８枚のカードから１枚取って、数字を書こうとするカードが「当たる」確率は、１／８です。同様に、１／７、１／６、１／５（５枚まで「当たる」確率）となります。あとは「はずれる」確率です。残った４枚のカードから１枚取って、数字を書こうとするカードが「当たる」確率は１／４なので、「はずれる」確率は３／４となります。同様に２／３、１／２、１／１となります。したがって、求める確率は １／９＊１／８＊１／７＊１／６＊１／５＊３／４＊２／３＊１／２＊１／１ で求められないでしょうか。
- kony0
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majornaさんに対しての補足ですが、 ＞ただ、一枚目あたったかどうかは、 ＞数字は伏せられているわけですから、 ＞次の数字が一致するかどうかには関係ないのでは。。？ というのは、当たっているともいえるし、はずれているともいえます。 完全順列の樹形図を書いてみるとわかるかと思いますが、１枚目になにをおくかによって、樹形図の形状が異なります。ということで、そんなに単純な代物ではない。 ４つの完全順列でいくと、 ／１―４―３ ２―３―４―１ ＼４―１―３ ／１―４―２ ３―４―１―２ ＼２―１ ／１―２―３ ４―３―１―２ ＼２―１ となり、１枚目に「２」があるときと１枚目に「３」があるときで、単純に「２」と「３」を入れ替えただけの樹形図にはなっていない。ということから、「１枚目になにを 入れたかによって、２枚目以降の入れ方には関係ないとは言いがたい」です。 ただし、これにはトリックがあって、 （１―２―３―４枚目） ／１―４―３ ２―３―４―１ ＼４―１―３ （１―３―２―４枚目） ／１―４―２ ３―２―４―１ ＼４―１―２ （１―４―３―２枚目） ／１―２―３ ４―３―２―１ ＼２―１―３ というように、樹形図の並び方の意味合い（各樹形図の一番上に書いた括弧書きのこと）も含めて「２」と「３」を入れ替えると、実は「１枚目になにを入れたかによって、２枚目以降の入れ方には関係ないといえそう」です。 じゃぁいったいどっちなんだい！と思われるかもしれませんが、この４つの並び替えの場合、 「１枚目と２枚目に３と４を使ってしまった場合は、３枚目と４枚目に入れる入れ方は２通りある」 「１枚目と２枚目で３と４を使い切っていない場合は、３枚目と４枚目に入れる入れ方は必然的に１通りと決まる」 ことが上の樹形図から読み取れます。 だから、本質的には、「ある時点までの入れ方によって、それ以降の入れ方は影響を受ける」（独立でない）といわざるをえません。
- majoruma
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すみません、ご指摘どおりですね～ Ｐ＝１/９×１/９×１/９×１/９×１/９ ×８/９×８/９×８/９×８/９ ↑の１/９と８/９の並び方の順番は関係ないので、 すべての１/９と８/９の並び方を ↑の式にかけてやらなければなりませんでした。 ○５個と●４個の並び方は１２６通り（かな？） なので、 回答＝Ｐ×（○５個と●４個の並び方（１２６？））です。 ただ、一枚目あたったかどうかは、 数字は伏せられているわけですから、 次の数字が一致するかどうかには関係ないのでは。。？
＃１さんの考え方でもっと簡単な問題にあてはめてみると ３枚のカードを３枚とも当てることをやってみると 1/3*1/3*1/3＝1/27 になりますけど ３枚のカードを適当に並べても６通りしかありませんから 違います。 これは１枚目があたったかどうかで２枚目以降のあたる確率が 変わってくるためだと思います。
カードの並べ方を考えればいいです。 すべてのカードを並べる並べ方は９！ 全部のカードが順番に並んでいる中から４枚を入れ替えます。 だからまず４枚を選ぶのが９Ｃ４、その４枚を （たとえば１，２，３，４を）同じ数字のところに来ないように並べ替えます。 それをａ通りとすると （ａ＊９Ｃ４）/9! ａ通りについては丁寧に数えてもいいし ４枚の並べ方４！（２４通りしかない）から 全部同じになるのは１通り ３枚だけ同じになるのは無し ２枚だけ同じになるのは・・・ １枚だけ同じになるのは・・・ と数えて引いてやる、のでも良いのではと思います。
お礼
ありがとうございました
- majoruma
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まず、 一枚について考えます。 裏向きにしてあるカードに数字を書いて一致する確立は、 １/９ です。 一致しない確立は、８/９ です。 次に ９枚中５枚一致するときの確立なので、 １/９の確立が５回起こり、 ８/９の確立が４回起こればいいので、 このときの確立はＰは、 Ｐ＝１/９×１/９×１/９×１/９×１/９ ×８/９×８/９×８/９×８/９ です。 このとき問題からの内容から、順番は関係ないので、 順番は考えなくても良いです。
お礼
ありがとうございました