証明問題

質問

Prove that for every positive integer n, there are n consecutive composite integers.

この証明問題が分かりません。
すべての正の整数nに対して、n個の連続した合成数がある。

さっぱり分からないのですが、何かヒントをください。

回答No.2

noname#63284 · ベストアンサー

合成数というのは、1でも素数でもない自然数ということですね。
つまり、2以上自分自身未満の整数で割り切れれば、合成数です。

これはよくある問題のようです。

(n+1)! は、2×3×…×n×(n+1)なので、

(n+1)!+2 は、2で割り切れる。
(n+1)!+3 は、3で割り切れる。
・・・・・・・・・・
(n+1)!+n は、nで割り切れる。
(n+1)!+(n+1) は、(n+1)で割り切れる。

ということで、n個の連続した合成数を作ってみせることができます。

答えを知ってて解答してるみたいなのが、ちょっと気に入らないのですが、例えば、

X+2 が 2で割り切れ、
X+3 が 3で割り切れ、
・・・・・・・・・
X+(n+1) が (n+1)で割り切れる。

となるような、整数 X は、明らかに、
X = 2×3×…(n+1) = (n+1)!
ということで求めることもできます。

これもまあ、答え知ってて書いてるようなかんじはしますなぁ。

回答No.1

waseda2003

(n+1)！が 2からn+1までのすべての整数で割り切れる
ことに注目しましょう。