数学的帰納法
先日模試があったのですが、自分の解答のどこが誤りなのか分かりません…。
nを正の整数とする。xとyの方程式
3x+4y=n…ア
について、次の問に答えよ。
問 kを正の整数とする。n=3k+1のとき、方程式アを満たす0以上の整数x,yが存在することを示せ。
自分の解答↓
1)n=4のとき ア⇔3x+4y=4
(x,y)=(0,1)はこれを満たすので、このときアを満たす0以上の整数x,yは存在する。
2)n=3k-2(k=2,3,4…)のとき、
アを満たす0以上の整数x,yは存在すると仮定する。
このとき、x=α、y=β（α、βは0以上の整数）とすると、
3α+4β=3k-2…イ が成立する。
このとき、n=3k+1のときでもアを満たす0以上の整数x,yは存在することを示す。
3x+4y=3k+1…ウとする。
ウ－イ 3(x-α)+4(y-β)=3であり、(x-α、y-β）=（1,0)はこれをみたすから、(x,y)=(1+α、β)はウをみたす。
よって、n=3k+1のときでも、アを満たす0以上の整数x,yは存在する。
以上のことから3でわると1余る4以上のすべての自然数ｎについて、アをみたす0以上の整数x,yは存在することが示された。
よって題意は示された。
と解答したのですが…。
実際解答したときは、かなり急いでいたので、2)→1)のように、
「n=3k-2で成り立つことを仮定」→「n=3k+1で成り立つ」→「n=4のとき成り立つ」というふうに順序が少し変になってしまいました。
採点欄のところには「仮定を用いてるので証明とはいえない」と書かれてしまったのですが、数学的帰納法を用いるなら、仮定を用いるのはふつうではないのでしょうか？
数学的帰納法だと伝わらなかったのでしょうか？？
そもそも根本的におかしいのでしょうか？？
どなたかお願いします。
お礼
わかりやすい解説ありがとうございます。助かりました。