垂直抗力についてです。

質問

床の上を自由に滑る斜面台の上に物体がのっている場合（摩擦はありません）、物体の質量をｍ、斜面台の質量をＭ、斜面の角度をθとして、斜面と物体間の垂直抗力：Ｎの大きさを計算すると、

　　　Ｍcosθ
Ｎ＝－－－－－－ ｍg
　　Ｍ＋ｍsin^2θ

となりました。

ここで台が床からうける力：Ｆを求めようとすると、
先ほどの垂直抗力の鉛直成分に台の質量をたして、

　　　Ｍcos^2θ
Ｆ＝－－－－－－ ｍg ＋Ｍｇ
　　Ｍ＋ｍsin^2θ

となると思ったのですが、どう変形してもＦの値が（Ｍ＋ｍ）ｇになりません。床の上を１つの物体が水平方向に運動している場合、どんな加速度で運動していても床からうける垂直抗力はその物体の重力に等しくなるので、上のような場合も床からうける垂直抗力は二つの物体の重力を足したものになると思ったのですが…。なぜそうならないのか教えてください。

回答No.3

Umada · ベストアンサー

ご質問の場合ですと、台が床から受ける垂直抗力がθによらず(m+M)gで一定となることはないです。yuming0926さんのお答えで合っていると思います。

極端な例としてθ=90°のケースを考えてみてください。物体は台に関係なく勝手に自由落下するだけで、摩擦もないのですから台になんの力も及ぼしません。このときに台が床から受ける垂直抗力はMgだけであるのはご理解頂けると思います。別の言い方をするとθ=90°を代入してFがMgにならない解は正しくありません。

もし納得いただけないなら、別の極端な場合として次のようなケースを考えてみて下さい。
台の両側を拘束して、台の水平方向の移動を禁止します。
ご質問の場合と同様に斜面で物体を滑らすとすると
物体が受ける重力は　mg
物体が斜面に及ぼす力は　mg cosθ
となります。
物体は斜面と垂直方向には運動しないので、物体が斜面に及ぼす力=垂直抗力Nの関係があります

このとき台が物体から受ける力の鉛直方向成分は　N cosθ=mg cos^2 θ
よって台が床から受ける垂直抗力Fは角度θに応じて
F=Mg+mg cos^2 θ
と変化します。θ=0°(物体はただ台に載っているだけ、もしくは水平方向の移動だけ)でF=(M+m)g、θ=90°(物体は自由落下するだけ)でF=Mgになることを確認してください。
Aという物体の上にBという物体が載っていたとしても、Bが垂直方向に加速度を有する運動をしている場合には、Aが床から受ける垂直抗力はA,Bにかかる重力の和とは等しくないということです。

さて垂直抗力Nについては私も独自に解いてみました。

　　　　　　／｜
　　ｍ　　／　｜
　　　●／　　｜　
　　　／　　　｜
　　／　　Ｍ　｜
　／θ　　　　｜
　￣￣￣￣￣￣￣
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
【物体について】
物体にかかる力　重力mg(鉛直方向)と垂直抗力N(大きさはこの時点では不明)
物体が初速ゼロから時間tの間に鉛直方向に動く距離　(1/2)×{(mg-N cosθ)÷m}×t^2　　　(1)
物体が初速ゼロから時間tの間に水平方向に動く距離　(1/2)×{N sinθ÷m}×t^2　　　(2)

【台について】
台に対し、水平にかかる力　N sinθ　　　(3)
台が初速ゼロから時間tの間に水平方向に動く距離　(1/2)×{N sinθ÷M}×t^2　　　(4)

台の幾何的形状を考えると、{(2)+(4)}×tanθ=(1)を満たさなくてはならない。
よって
[{N sinθ÷m}+{N sinθ÷M}]×tanθ={(mg-N cosθ)÷m}
{N (m+M) sin^2 θ}/cosθ=M(mg-N cosθ)
N {(m+M) sin^2 θ+M cos^2 θ}=Mmg cosθ
N=(mMg cosθ)/(m sin^2 θ+M)　　　(5)
となって、yuming0926さんのご解答と一致しました。

FはMg+N cosθですからこれまたyuming0926さんのご解答の通りでよいと思います。常にF=mg+Mgになると限らないのは冒頭で書いた通りです。
θ=90°でF=Mg、θ=0°でF=mg+Mgになりますから、(5)は解の振舞いとしても合っています。

なお上記は計算ミスをしているかも知れませんので、確認しながら読んで頂ければ幸いです。

回答No.5

hagiwara_m

Umadaさんのおっしゃる通り、示されている結果は自然と思います。疑問の本質は、Mを床に固定して考えた方がいいのではないでしょうか。これなら、垂直方向の運動方程式を考えることで、容易に、 F=mg(cosθ)^2+Mg が推定できます。これが、出された結果の、M→無限 の極限に対応しています。

物体が垂直方向の加速度をもつということは、垂直方向の力が釣り合っていないということですから、垂直方向の力の釣り合いの式は成り立ちません。

回答No.4

First_Noel

２度目失礼致します．

内力と外力とを混同されていませんか？

重力を考慮して，それに抗力を加減することはできません．
例えば，台の斜面が水平である場合，質量ｍの物体にかかる重力はｍｇ，
床からの反力は－ｍｇ，だから足して０，それにＭｇを足して，
Ｆ＝Ｍｇ・・・とはなりません．

ご質問の場合，物体にかかる重力は，台の斜面に対して
平行成分と垂直成分とに分けられますが，作用反作用を考えて
成分から再び合力を求めると，結局，物体が台に及ぼす力は
鉛直下向きのｍｇとなるでしょう．

＃３さまの御回答の中にｔａｎに関する条件が入っていますが，
θ＝９０°の場合は発散してしまいます，
即ち，この手順で考えるとすれば，θ≠９０°は別に考える必要があります．

回答No.2

doya

最初の垂直抗力Ｎの計算式と、垂直抗力の鉛直成分＝Ｎ×cosθ　の「鉛直」という意味がよくわかりません。
ちょっと質問を読み違えているのかもしれませんが、＃1の方と同じで物体から台に作用する力はｍｇだと思います。
ｍｇを分解して求める台と物体間の垂直抗力は、Ｆ＝ｍｇ×cosθ ではないでしょうか？
そうすると台～床面間の垂直抗力は、Ｆ＝Ｍｇ＋ｍｇ＝（Ｍ＋ｍ）ｇですね。
ためしに、「垂直抗力　斜面」で検索してみては、いかがでしょうか？
（勘違いしてたら、ゴメンナサイ）

回答No.1

First_Noel

質量Ｍの台の上に質量ｍの物体が乗っているのですから，
質量の合計は（Ｍ＋ｍ），∴垂直抗力Ｆ＝（Ｍ＋ｍ）ｇ，では？

台の上の物体が台に及ぼす力は，あくまでｍｇです，
台の斜辺に対して垂直な成分しか考慮していないのでは？