振子の周期

質問

振子の周期はＴ＝２Π√Ｌ／ｇで表されますが、何故このようになるのでしょうか？教えてください！

回答No.2

eliteyoshi · ベストアンサー

単振り子の運動方程式は
d^2θ/dt^2+(g/L)sinθ=0
である。ここで、振れ角θが十分小さいと仮定すれば、sinθのテイラー展開

sinθ=θ-(θ^3/3!)+(θ^5/5!)-(θ^7/7!)+・・・

より、右辺第2項以降は非常に小さいので無視して
sinθ≒θ
となる。よって運動方程式は、
d^2θ/dt^2+(g/L)θ=0
となり、この微分方程式を解く。
θ=e^(λt)をこの式に代入すると、
(λ^2+g/L)・e^(λt)=0
となるから、e^(λt)≠0より
λ^2+g/L=0
∴λ=±[√(g/L)]i
であり、微分方程式の解はω=√(g/L)とすると、

θ=Acos(ωt)+Bsin(ωt)

となる。ここでA,Bは任意定数である。
さらにこの解を合成する。
θ=√(A^2+B^2)[cos(ωt)・A/√(A^2+B^2)+sin(ωt)・B/√(A^2+B^2)]
=√(A^2+B^2)[cos(ωt)cosφ+sin(ωt)sinφ]

∴θ=√(A^2+B^2)・cos(ωt-φ)
(∵cosφ=A/√(A^2+B^2), sinφ=B/√(A^2+B^2) )

上式から振り子は、
振幅: √(A^2+B^2)
角振動数: ω=√(g/L)
の振動をすることが分かる。よって周期Tは、

周期T=2π/ω=2π√(L/g)

と求められる。

お礼

丁寧にありがとうございます！

回答No.1

ojisan7

微分方程式をたてて、それを解いてみれば分かると思います。厳密に解くと、楕円積分になったかと思うのですが。振れ角が小さい場合には、sinθ≒θの近似を使って簡単に導かれます。サイトにもあると思いますので、ご自分で検索してください。