台車上の倒立振り子

質問

よくある例題ですが、挙動解析の持っていき方が見当つかないので、方向性だけでも教えていただけないでしょうか…
質量m1の台車が、ばねkで固定され、減速を始めました。その上に、同じ速度でx軸上を移動してきた倒立振り子がm2の質量、l の距離で立っています。当然、振り子は前のめりに倒れます。
上記の挙動を、
運動エネルギー=1/2*m1*v^2+1/2*m2*(v^2+2*l*v*ω*cosθ+l^2*ω^2)
ポテンシャルエネルギー=1/2*k*x^2
(ただし、ωをm2の角速度、θをy軸からなすm2の角度、xをm1のばねが有効である時の移動距離とする)
から、ラグランジュの運動方程式に代入、少しいじって、
x"=(m2*l*ω^2*sinθ-k*x)/(m1+m2-m2*cosθ^2)
θ"=-{(m2*l*ω^2*sinθ-k*x)*cosθ}/{l*(m1+m2-m2*cosθ)}
と、それぞれ加速度はわかるのですが、この先が全くお手上げです。
分子にxを含む以上、部分分数分解で積分も不可？
e^(λt)の代入も意味を持たず？
謎の２変数時間関数 f(x(t),θ(t))を逆ルートで見つける？
それとも数値解析しか無理？
m2*l*ω^2*sinθの部分が、等速円運動のx軸射影の復元力そのものなのに…今の私では、道筋さえわかりません。恐れ入りますが、皆さん、光をいただけますか？(解きたいのは、x(t)=???,l*sinθ(t)=???なんです!!!)

回答No.1

foobar · ベストアンサー

θに関して
振れ幅の大きな問題まで扱うのか、
小さい振れ幅に関してだけ扱えばいいのか
で筋道は変わってくるかと思います。

後者(基準点θ0の周りの小さい振れ幅Δθだけ扱えばいい）場合には、
θ=θ0+Δθとおいて、式を展開し、
cos(Δθ)=1、sin(Δθ)=Δθと近似して、θ=θ0近傍での挙動を調べる
という手が使えるかと思います。

お礼

foobarさん、おかげさまで振幅の見方をx軸からのθに移し、近似に近似を重ねると（ωも0にすると）欲しかったx軸上での一次元の運動に回転運動は影響しない、と判明しました（？）厳密に解くにはやはり楕円積分をやり直さなければいけないので、誤差の範囲内かどうかを判断しながら進めていく路線で決定です。ありがとうございました。

補足

foobarさん、早速のお返事ありがとうございます。
確かに、おっしゃる通り、振動運動としては、解けそうな感じです。
ただ、初速度が大きくなって、θが１以上(1/2πとか)になると、やはり数値的に解く以外ないのでしょうか？
体感的には、カオスよりも"何か"法則をもって動きそうなんですが…