整数解問題

質問

a^2b^2=4a^5+b^3
を満たす整数解（a,b）をすべて求めよ。

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足です。

2007年数学オリンピック予選の問題でしたか？
#1さんの紹介のURLの解答のうち、
絶対値の一番大きな組(125,3125)がA#2では
まだ見つけられていませんでした。
もう少し調べてみれば8組見つかっていたのに残念！

でも、それ以上の絶対値の組が存在しないことを示さないといけないですね。

回答No.2

info22

質問者自身でもやった結果や解答がわかっているなら、高み見物しないで、補足にお書きください。回答者も大変苦労して解を見つけようと頑張っているのですから。。。

b^2(a^2-b)=4a^5…(A)
(a,b)=(0,0)は自明解

(a,b)≠(0,0)の場合を考える。
a=0とすればb=0
b=0とすればa=0
なので、ab≠0

横軸にa軸、縦軸にb軸を取って(A)のグラフの概形を描いてみると添付図のようになる。
このグラフ上に整数の格子点(a,b)がいくつあるかは分からないが、それらをすべて求めよ」というのが問題である。
グラフは4つの方向に無限に伸びているので、効率的な探し方をしないとすべての整数の(a,b)の格子点が見つけることは不可能なようです。

絶対値の小さな整数の組(a,b)から大きい方に調べていってみると
(-1,2),(2,-4),(27,-243),(27,486),(32,512),(54,972)
これらは、腕力で調べたものですから、aの絶対値が100以上の方は調べきれていません。

aの5乗項があり、絶対値が大きくなると急速に大きくなるのでこの項を目安にbを求めるといいかも知れませんね。
グラフから|a|が大きくなると|b|もそれ以上に大きくなっていくので、
すべての整数の組を見つけるのは困難かも知れませんね。
スーパーコンピューターを使って総当りで見つければもっと大きな絶対値の整数の組が（存在すれば）すぐ見つかるでしょうね。

補足

思考の過程がよく分かりありがとうございます。
解の範囲を絞りきる形にもっていけないで、挫折しています。
つぎのような方針でやってみましたが、うまくいっていません。
　ａ＾２で割って、ｂ＾２＝４ａ＾３＋ｂ＾３／ａ＾２
　　右辺は整数だから、ｂ＾３／ａ＾２は整数になる。・・・・
この問題をどんな方針で解くのか、興味深いものがある。

回答No.1

mister_moonlight

2007年の数学オリンピックの予選問題らしい。確かに難しい。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1120009786

お礼

以前の質問にあったんですか。教えていただきありがとうございます。