整数問題です。

質問

a^3-b^3=65を満たす整数の組（a,b）を全て求めよ。

回答No.4

ferien

ANo.3さん　（３）と（４）はあり得ないと思います。

＞a^3-b^3=65
（ａ－ｂ）（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＝６５より、
ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝（ａ＋ｂ／２）^2＋３ｂ^2／４＞０なので、
ａ－ｂ＞０です。

回答No.3

178-tall

忘れ物。

　a-b=-5, a^2+ab+b^2=-13　　　…(3)
あるいは
　a-b=-13, a^2+ab+b^2=-5　　　…(4)

これは全滅？

回答No.2

178-tall

ミス訂正。

　a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 5*13
から、
　a-b=5, a^2+ab+b^2=13　　　…(1)
あるいは
　a-b=13, a^2+ab+b^2=5　　　…(2)

回答No.1

178-tall

>a^3-b^3=65を満たす整数の組（a,b）を全て求めよ。

一解 (ao, bo) があれば、(-bo, -ao) も解？
　ao^3 - bo^3 = 65 → (-bo)^3 - (-ao)^3 = ao^3 - bo^3 = 65
(要らざる寄り道？)

　a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 5*13
から、
　a-b=5, a^2+ab+b^2=13　　　…(1)
あるいは
　a-b=5, a^2+ab+b^2=13　　　…(2)

(1) から、
　a^2+a(a-5)+(a-5)^2 = 13
　3a^2 - 15a + 12 = 0
　3(a^2-5a+4) = 3(a-4)(a-1)
つまり、{a, b} = {4, -1}　または　{1, -4}

(2) は整数解無し。