対数表の値

質問

2は10の0.3乗みたいな対数の値は どうやって求めているのでしょうか

回答No.2

proto · ベストアンサー

とりあえず常用対数より自然対数の方が値を計算しやすいので、自然対数で計算します。
常用対数が必要な時は、底の変換公式
　　log(x) = ln(x)/ln(10)
を使って、自然対数から常用対数を求めます。

さて、自然対数の求め方は、ln(1+x)とln(1-x)をそれぞれx=0でテーラー展開して差を取ることにより、
　　ln(1+x)-ln(1-x) = 2(x+(x^3)/3+(x^5)/5+(x^7/7)+...)
左辺は
　　ln(1+x)-ln(1-x) = ln((1+x)/(1-x))
より
　　ln((1+x)/(1-x)) = 2(x+(x^3)/3+(x^5)/5+(x^7/7)+...)

例えばln(2)を求めたいときには、(1+x)/(1-x)=2を解いてx=1/3を代入することにより
　　ln(2) = 0.693147181
を得ます。
さらに、2の常用対数が欲しい場合は、あらかじめln(10)を計算しておきます。
(1+x)/(1-x)=10を解いてx=9/11を代入することにより
　　ln(10) = 2.298904089
を得ます。
以上の結果から
　　log(2) = ln(2)/ln(10) = 0.301512005
と計算出来ました。

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回答No.4

proto

#2です。
>ln(10)=2.302585, log(2)=0.3010300 です。
と指摘がされていますが、excelを使い級数の計算を10項で打ち切っているための誤差です。
今回のように級数を用いて、無理数の近似値を出す場合には誤差に気をつけなければならないのですが、いくつかの意図によりあえて誤差を気にせずに投稿しました。
一つには、今回、質問者が求めているものはln(2)やln(10)の正確な値ではなく、プロセスとしてのln(2)やln(10)の求め方であると思ったから。
次に、私が示した値と電卓などで導いた値との違いに気づくことによって、級数展開における誤差の存在に気づいて欲しかったから。(そのような気づきを与えたかったから)
次に、無理数を小数展開してみせる時点でそれは近似値であり、近似値である以上どこまで行っても100%正確ではあり得ないことを知って欲しかったから。

そのために、
　　ln(2) = 0.693147181…
ではなく
　　ln(2) = 0.693147181
と、有限小数の形で書いています。
これは、ここでの右辺はln(2)の正確な値ではなく、あくまでもln(2)の近似値を求める式が導いた近似値であるということを暗に云いたいのです。

お礼

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回答No.3

mb4808

No.2さん
ln(10)=2.302585, log(2)=0.3010300 です。

お礼

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回答No.1

banakona

テイラー展開かな・・・

お礼

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