また面白い発見をしたので参照にすれば幸いです。
また面白い発見をしたので参照にすれば幸いです。
a(n)=((1＋(1/n))^nのとき以下の極限値を求める。
lim(n→∞)n(a(n＋1)-a(n)) ・・・・・・・(a)
さて(a)は以下の考え方にして置き換えられる。
f(n,x)=((1＋(1/nx))^nxと定義すると a(n)=f(n,1)で
n＋1=n(1＋1/n)だから a(n＋1)=f(n,1＋1/n)
よって
lim(n→∞)n(a(n＋1)-a(n))＝lim(n→∞){f(n,1＋1/n)-f(n,1)}/(1/n)
であることに帰着できる。
ここでまずn(>1)を固定する。
さらに
f(n,x)は任意のn(>1)に対してもx(1<x<1＋1/n)について連続かつ偏微分可能であることに注意して
"平均値の定理"よりあるΘ(0≦Θ≦1)が存在して
{f(n,1＋1/n)-f(n,1)}/(1/n)＝∂f(n,1＋Θ/n)/∂x ・・・・・(b)
が成り立つ。
また
∂f(n,x)/∂x=((1＋(1/nx))^nx{nlog(1＋1/nx)＋(-n/(1＋nx)}
なので
∂f(n,1＋Θ/n)/∂x＝((1＋(1/(Θ＋n)))^(Θ＋n){nlog(1＋1/(Θ＋n))＋(-n/(1＋Θ＋n)}
となる。
最後にn→∞として 0≦Θ≦1より
((1＋(1/(Θ＋n)))^(Θ＋n){nlog(1＋1/(Θ＋n))＋(-n/(1＋Θ＋n)}
→e(1-1)=0
(申し訳ないが途中式は省略。)
より
lim(n→∞)∂f(n,1＋Θ/n)/∂x＝0
したがって(b)より
lim(n→∞){f(n,1＋1/n)-f(n,1)}/(1/n)＝0であることが分かったので
最終的に求める極限値(a)は
0であることが分かった。
このやり方は合っていますか？
本当はもっと簡単なやり方でできるかもしれないが、自分にとってなかなか面白いアイデアがうかんだので今回はその方法で投稿した。
お礼
一晩かかってやっと解くことができました～。本当にありがとうございました。