関数と極限の範囲がよくわかりません。

質問

関数と極限の範囲がよくわかりません。
☆271の関数の定義域とは何ですか？その範囲の連続を調べるには何をしたらいいですか？
x＝1のときのときの連続を調べるとかは、やったことがありますが、例えば定義域が（x≪－1、1≪x）になった場合、どのように求めるんですか？

☆273（4）がわかりません( ´• _• ` )
（）内の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示せという問題です

☆245、262極限を調べろという問題です。何回考えてもわからないので教えていただきたいです。

回答No.1

jcpmutura

271
(1)
y=xsinx
の定義域とはxの範囲だから
xは実数だから
定義域Dは
D={x;
xは全実数
}

実数aと
任意のε>0に対して
δ=ε/(1+|a|)
とすると
|x-a|<δ
となる任意のxに対して

|xsinx-asina|
=|xsinx-asinx+asinx-asina|
=|(x-a)sinx+a(sinx-sina)|
=|(x-a)sinx+2asin{(x-a)/2}cos{(x+a)/2}|
≦|x-a||sinx|+2|a||sin{(x-a)/2}||cos{(x+a)/2}|
↓|sinx|≦1,|cos{(x+a)/2}|≦1だから
≦|x-a|+2|a||sin{(x-a)/2}|
↓|sin{(x-a)/2}|≦|x-a|/2だから
≦|x-a|+|a||x-a|
=(1+|a|)|x-a|
<(1+|a|)δ
=ε
↓
lim_{x→a}xsinx=asina
∴
y=xsinxは連続

(2)
y=x+√(x^2-1)
√の中は非負だから
x^2-1≧0
(x+1)(x-1)≧0
定義域Dは
D={x;
x≦-1.又は.x≧1
}
となる

a∈D
とすると
|a|≧1

|a|>1の時
任意のε>0に対して
δ=min(ε/2,1)(|a|-1)/(2|a|+1)
とすると|a|>1だから
0<δ<|a|-1
1<|a|-δ
となる
|x-a|<δ
となる任意のxに対して
1<|a|-δ<|x|<|a|+δ
|x+a|≦|x|+|a|<2|a|+δ≦2|a|+1
|a|>1
2|a|>2
↓両辺にa^2-2|a|-1を加えると
a^2-1>a^2-2|a|+1=(|a|-1)^2
↓両辺を1/2乗すると
√(a^2-1)>|a|-1

|x+√(x^2-1)-{a+√(a^2-1)}|
=|x+√(x^2-1)-a-√(a^2-1)|
=|x-a+√(x^2-1)-√(a^2-1)|
=|x-a+(x-a)(x+a)/{√(x^2-1)+√(a^2-1)}|
≦|x-a|+|x-a||(x+a)/√(a^2-1)|
≦|x-a|+|x-a||(2|a|+1)/(|a|-1)|
<δ+δ|(2|a|+1)/(|a|-1)|
<ε/2+ε/2
=ε

|a|=1の時
任意のε>0に対して
δ=[{min(ε,1)}^2]/12
とすると
0<δ<1
となる
|x-a|<δ,|x|≧1となる任意のxに対して
1≦|x|<1+δ<2

|x+√(x^2-1)-a|
=|x-a+√(x^2-1)|
=|x-a+√{|x-a||x+a|}|
≦|x-a|+√{|x-a|(|x|+1)}
≦|x-a|+√(3|x-a|)
<δ+√(3δ)
=ε^2/12+√(3ε^2/12)
=ε/12+√(ε^2/4)
<ε/2+ε/2
=ε
∴
y=x+√(x^2-1)
は定義域
D={x;
x≦-1.又は.x≧1
}
で連続

(3)
y=cos(1/x)
1/xの分母x≠0だから
定義域Dは
D={x;
実数x≠0
}
となる

実数a≠0と
任意のε>0に対して
δ=min(1,ε|a|)|a|/2
とすると|a|>0だから
0<δ
となる
|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ≦|a|/2
0<|a|/2≦|a|-δ<|x|<|a|+δ
1/|x|<2/|a|

|cos(1/x)-cos(1/a)|
=2|sin{(1/x+1/a)/2}sin{(1/a-1/x)/2}|
≦2|sin{(1/a-1/x)/2}
≦|1/a-1/x|
=|x-a|/|ax|
≦2|x-a|/|a|^2
<2δ/|a|^2
≦ε
∴
cos(1/x)は定義域Dで連続

273
(1)
f(x)=x^3-x+1
とすると
f(-2)=(-2)^3-(-2)+1=-8+2+1=-5<0
f(-1)=(-1)^3-(-1)+1=-1+1+1=1>0
f(x)は連続
だから
中間値の定理から
-2<x<-1の範囲の少なくとも1つの
f(x)=x^3-x+1=0
となる実数解xをもつ

(4)
f(x)=xtanx-x-1
とすると
f(0)=0tan0-0-1=-1<0

tan(5π/12)
=tan(π/4+π/6)
={tan(π/4)+tan(π/6)}/{1-tan(π/4)tan(π/6)}
={1+(1/√3)}/{1-(1/√3)}
=(1+√3)/{(√3)-1}
=(1+√3)^2/2
=2+√3

f(5π/12)
=(5π/12)tan(5π/12)-5π/12-1
=(5π/12)(2+√3)-5π/12-1
={5π(1+√3)-12}/12
>(5*3*2-12)/12
=(30-12)/12
=18/12
=3/2
>0

f(x)は連続
だから
中間値の定理から
0<x<5π/12の範囲の少なくとも1つの
f(x)=xtanx-x-1=0
xtanx=x+1
となる実数解xをもつ

245
(1)
任意のKに対して
δ=1/(1+K^2)
とすると
|x-1|<δとなる任意のxに対して
(x-1)^2<δ^2
1+K^2≦(1+K^2)^2=1/δ^2<1/(x-1)^2
1+K^2<1/(x-1)^2
0≦1-δ<x
0≦1-1/(1+K^2)<x
2≦3-1/(1+K^2)<x+2
2<x+2
K<2(1+K^2)<(x+2)/(x-1)^2
∴
lim_{x→1}(x+2)/(x-1)^2=∞

(2)
任意のKに対して
δ=1/(2+K^2)
とすると
|x-2|<δ
となる任意のxに対して
(x-2)^2<δ^2=1/(2+K^2)^2
2+K^2<(2+K^2)^2=1/δ^2<1/(x-2)^2
K^2+K+1=(K+1/2)^2+3/4>0だから
1-1/(x-2)^2<1-(2+K^2)=-1-K^2≦K
∴
lim_{x→2}{1-1/(x-2)^2}=-∞

262.
(1)
lim_{x→1}sin(πx)/(x-1)
=lim_{x→1}-πsin(π(x-1))/{π(x-1)}
=-πlim_{x→1}sin(π(x-1))/{π(x-1)}
=-πlim_{t→0}sin(t)/t
=-π

(2)
lim_{x→π/2}(x-π/2)tanx
=lim_{x→π/2}(x-π/2)sin(x)/cos(x)
=-lim_{x→π/2}(sinx)(π/2-x)/sin(π/2-x)
=-lim_{x→π/2}(sinx)lim_{x→π/2}(π/2-x)/sin(π/2-x)
=-sin(π/2)lim_{t→0}t/sin(t)
=-1