球体の表面積について

質問

角度範囲のある球体の表面積の求め方で不明な点があります。

半径aの球体の表面積は(=360°の時)
S=4πr^2
だと思うのですが、ある私の持っている参考書に
その球体の0°～120°までの範囲(真上から見て)の表面積は
πr^2
になるという記載がありました。

個人的に思うに、0°～120°ということは球体を真上から3等分したしたうちの1つに等しく
球体の表面積S=4πr^2の1/3に当たる
S=(4/3)*πr^2
になると考えているのですが、どこが間違っているかわかりません。

理解していらっしゃる方がいましたらご教授お願いします。
それとも参考書が間違っているのでしょうか？

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

#2のものです。
>ちなみに教えて下さった表面積の式中のθは線対称に回転させる前の角度(私の例でいうと60°)と考えてよろしいですか？

そのとおりです。θのとり方の説明をしていませんでした。
導出の方法を説明しておきます。

回転の中心から角度φのところを取ると曲面上の円となります。この円の半径はrsinφ、円周の長さは2πrsinφとなります。この円とφ+dφの角度のところの円の間に挟まれた領域の面積は、挟まれた部分の幅がrdφであるから、
2πrsinφ*rdφ=2π(r^2)sinφdφ
となります。
これをφ:0→θの範囲で積分すると求める面積になります。
∫[0→θ]2π(r^2)sinφdφ=2π(r^2)(1-cosθ)
となります。

お礼

式の導き方もとてもわかりやすくて理解できました！！
ありがとうございました。

回答No.3

orcus0930

おそらく、添付した図のような図形のことを言っているんだと思います。

gnuplotを持っているなら、次のように打てば、添付の図が再現できます
set parametric
set xrange [-1.1:1.1]
set yrange [-1.1:1.1]
set zrange [0:1.1]
set vrange [0:pi/3.0]
set isosamples 20
splot cos(pi/3.0)*3.0/pi*sqrt(3)*v*cos(u),cos(pi/3.0)*3.0/pi*sqrt(3)*v*sin(u),cos(pi/3.0)*3.0/pi*v,\
sin(v)*cos(u),sin(v)*sin(u),cos(v)

お礼

添付の図形資料とてもわかりやすく理解できました！！
1/3では無いことがやっと納得できました。ありがとうございます。

回答No.2

rnakamra

360°とか120°とか、何を意味しているのか理解しているのかな?

ここでいう120°とはスイカを切り出すように分けた場合の角度ではありません。
図示できるとよいのですが、今その方法が無いので文章で説明します。

半径r,中心角120°の扇形を考えてください。
この図形を線対称の中心軸(中心と弧の中点を結ぶ直線)の周りに回転して得られる図形を思い浮かべてください。
この曲面部分の面積のことを論じています。
この部分の面積がπr^2になるといっているのです。

なお、中心角がθの時同じようにして得られた曲面の面積は
2πr^2*(1-cosθ)
になります。

お礼

そういうことだったんですね。図形のイメージは別の方が出して下さったこともあって納得しました。
ちなみに教えて下さった表面積の式中のθは線対称に回転させる前の角度(私の例でいうと60°)と考えてよろしいですか？

回答No.1

unchikusai

球を120度に切った断面（円の半分が２つ、つまり円１つ分の面積）を加えるのを忘れている。

お礼

ご指摘ありがとうございます。さすがunchikusaiさんですね。