面積

質問

x=rcosθ, y=rsinθとしrおよびθがそれぞれ√3≦r≦3、0≦θ≦π/2の範囲を動くとき
点(x,y)が動く範囲をＳとします。
(1)Ｓの外形をかき、その面積を求めよ。
(x,y)が動く範囲はそれぞれ、
0≦x≦3,　0≦y≦3で１辺の長さ3の正方形と考えたのですがよいでしょうか？？
(2)Ｓに含まれる長方形うちで１辺がx軸上にあるものの面積の最大値を求めなさい。
(1)の考え方の概形でいくと長方形が含まれるということが理解できません・・
どなたかご教授よろしくお願いしますm(__)m

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

＃２です。

＞＞0＜Ａ≦3-√3ではおかしいのでしょうか？？

貴殿ので正しいです。

投稿直後、誤りに気が付きましたが、

わかってもらえると思い・・・

怠慢でした。

ゴメンナサイ。

お礼

返信ありがとうございます。
暗黙の了解でしたね・・・
失礼しましたm(__)m

回答No.3

ht1914

＞x=rcosθ, y=rsinθとしrおよびθがそれぞれ√3≦r≦3、0≦θ≦π/2の範囲を動くとき

＞x,y)が動く範囲はそれぞれ、
0≦x≦3,　0≦y≦3で１辺の長さ3の正方形と考えたのですがよいでしょうか？？

x=rcosθ, y=rsinθの関係で（ｘ、ｙ）と（ｒ、θ）が結びついているときのイメージです。

正方形と書かれていますが円を想定するという風には習っていませんか。「変化する角度で表現するというのは回転するものを表しているからだ」というイメージです。ｒが一定であれば円です。なぜｒという文字を使ったのかは半径ｒにつながるからです。√３≦ｒ≦３は半径が√３と３の間にあるという意味になります。単に変数で変換したというのではなくて採用した変数に意味を付けて考える方が理解しやすいと思います。物理の授業で単振動や円運動は出てきませんでしたか。

お礼

返信ありがとうございます。
そうですね。物理などでも出てきたと思います。
これからはきちんと復習したいと思います。

回答No.2

kkkk2222

(1)

|○
|　　　　　　○
|　　　　　　　　　　　
|　○　　　　　　　　　　○
|　　　　　　○ 　　　 |　　　 |
|　　　　　　　　　○ ｜　　　|○
|　　　　　　　　　　　｜　　　|
Ｏ---------------------Ｐ-----Ｑ----○
　　　　　　　　　　　√3　　　　３

第１象限で
半径３の大円と、半径√３の小円の間の部分です。

(2)
Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝９
長方形の一辺をＰＱ＝Ａとする。
ＯＱ＝Ｘ＝Ａ＋√３
Ｑにおける垂線と大円の交点のＹ座標を求める。
Ｙ＾２＝９－（Ａ＋√３）＾２
長方形の面積Ｓ＝Ａ（√（９－（Ａ＋√３）＾２）
（Ｓ＾２）＝（Ａ＾２）【（Ａ＋√３）＾２】
＝９（Ａ＾２）ー（Ａ＾２）【（Ａ＋√３）＾２】
＝９（Ａ＾２）ー（Ａ＾４）ー２√３（Ａ＾３）ー３（Ａ＾２）
＝ー（Ａ＾４）ー２√３（Ａ＾３）＋６（Ａ＾２）
（Ｓ＾２）’＝－４（Ａ＾３）ー６√３（Ａ＾２）＋１２Ａ＝０
ー２Ａ【２（Ａ＾２）＋３√３Ａ－６】＝０
Ａ＝０、√３／２、－２√３
増減表より
Ｏ＜Ａ＜３の間にＭＡＸがある。
即、Ａ＝√３／２のときにＭＡＸ
（Ｓ＾２）＝（Ａ＾２）【（Ａ＋√３）＾２】に代入して、
（３／４）（２７／４）
よって、ＭＡＸは（９／４）

お礼

返信ありがとうございます。
図まで掲載してくれてわかりやすかったです。
そこで(2)の問題のことなのですが、

＞増減表よりＯ＜Ａ＜３の間にＭＡＸがある。

ということがいまいち理解できません。
0＜Ａ≦3-√3ではおかしいのでしょうか？？
自分の思い込みなので・・・。

回答No.1

sanori

（１）が分からないと、（２）に進めませんから、（１）だけについてヒントを書きます。
（２）については、下記の解説を出発点として、今一度自力で考えてみてください。

（１）は、結論から言うと、
「半径３で中心角９０度の扇形」から、「半径√３で中心角９０度の扇形」を差し引いた図形になります。
理由は、扇形の一番外側から順次考えると、
まずｒ＝３で固定すると、0≦θ≦π/2　は、半径ｒ、範囲９０度の円弧。
ｒを徐々に小さくしていって、やはり0≦θ≦π/2で考えると、徐々に小さい円弧になっていき、・・・
ということを最後（ｒ＝０）までやり、それらの細い円弧で塗りつぶしたと考えると扇形になります。
しかし、最後までやらずに、ｒ＝√３　のところで止めるということですので・・・

お礼

返信ありがとうございます。
そうですね・・・。
(x,y)の動く範囲なのですから0≦x≦3,　0≦y≦3という考え方は
明らかに間違ってますね・・・
すみませんでした。