恒等式における数値代入法について
高校数学IIの教科書には、
「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
等式f(x)=g(x)がn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、
この等式はxについての恒等式であることが知られている」
と書いてあります。
これについての証明は教科書に書いてありませんが、事実として
は教科書に明記されているのでこのことを使っても構いません。
つまり、「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
数値代入法で、n+1個のxの値を代入して答えが出たときは
十分性の確認は不要」であり、
「f(x)、g(x)がxのn次の多項式であるとき、
数値代入法で、n個以下のxの値を代入して答えが出たときは
十分性の確認は必要」と言うことです。
では、f(x,y,z…)、g(x,y,z…)がx、y、z…のn次以下の多項式である
とき、等式f(x,y,z…)＝g(x,y,z…)が一体何個の異なるx、y、z…の値
に対して成り立つならば、この等式はx、y、z…についての恒等式
であることが知られているのでしょうか？
たとえば、「2x^2＋axy－3y^2＋x＋4y－１＝(2x＋y＋b)(x－3y＋c)
がx，yの恒等式になるように，定数a，b，cの値を定めよ．」
という問題の場合、数値代入法で解くと、
2x^2＋axy－3y^2＋x＋4y－１＝(2x＋y＋b)(x－3y＋c)………(1)とする．
(1)にx＝0，y＝0を代入すると，－1＝bc………(2)
(1)にx＝0，y＝1を代入すると，0＝(1＋b)(－3＋c)………(3)
(1)にx＝1，y＝1を代入すると，a＋3＝(3＋b)(－2＋c)………(4)
(3)から，b＝－1またはc＝3
i).b＝－1のとき，(2)から，c＝1
(4)に代入すると，a＋3＝－2 ∴a＝－5
このとき，(1)は
2x^2＋5xy－3y^2＋x＋4y－１＝(2x＋y－1)(x－3y＋1) となり，
常に成立する．
ii).c＝3のとき，(2)から，b＝－1／3
(4)に代入すると，a＋3＝3－（1／3） ∴a＝－1／3
このとき，(1)は
2x^2－xy／３－3y^2＋x＋4y－1＝(2x＋y－1／3)(x－3y＋3)
＝2x^2－5xy－3y^2＋17x／3＋4y－1
となり，これはｘ，ｙの恒等式ではない．
i).，ii).から，答はa＝－5，b＝－1，c＝1である．
となります。この場合、f(x,y)、g(x,y)はx、yの「２」次の多項式
ですが、「２＋１」個のx,yを代入しても十分性の確認は
必要でした。
