導関数の問題

質問

y=√{(1-√x)/(1+√x)}の1次導関数と２次導関数を求めよ。
という問題ですが、１次導関数を解いたところ
y=√{(1-√x)/(1+√x)}=(1-√x)^1/2*(1+√x)^-1/2として、
y'=-1/4√(x-x^2) -√(1-√x)/{4√(x+x√x)}*1/(1+√x)
になりましたが答えはあっているのでしょうか？

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

意外と複雑な微分になります．この関数をいきなり微分してゆくのは，
天才的・微分暗算の達人でないと出来ませんので，
順を追って，確実に，ゆっくりと計算しないと間違えます．

y＝√{(1－√x)/(1＋√x)}

これを，次のように，おきます，

y＝√{u}

u＝(1－√x)/(1＋√x)

すると，合成関数の微分法により，

y'＝(dy/du)*(du/dx)

です．まず，(du/dx) を計算しておきます．この微分は分数の微分法を使います．
この計算の中で，√x の導関数を使いますので，これは，

(√x)'＝(1/2)*(1/√x)＝(1/2)*x^(－1/2)

です．(du/dx)を計算してゆきます．

(du/dx)＝[(1－√x)/(1＋√x)]'
　＝{(1－√x)'(1＋√x)－(1－√x)(1＋√x)'}/(1＋√x)^2
　＝{[－(1/2)*x^(－1/2)]*(1＋√x)－(1－√x)[(1/2)*x^(－1/2)]}/(1＋√x)^2
　＝[(1/2)*x^(－1/2)]{－(1＋√x)－(1－√x)}/(1＋√x)^2
　＝[(1/2)*x^(－1/2)]{－1－√x－1＋√x}/(1＋√x)^2
　＝[(1/2)*x^(－1/2)]{－2}/(1＋√x)^2
　＝[－x^(－1/2)]/(1＋√x)^2
　＝－1/[(√x)*(1＋√x)^2]

(du/dx)＝－1/[(√x)*(1＋√x)^2]

となります．次に，(dy/du) の計算です．

y＝√{u}

ですから，

(dy/du)＝d√{u}/du＝(1/2)*u^{(1/2)－1}
　　　　＝(1/2)*u^(－1/2)
　　　　＝(1/2)*[(1－√x)/(1＋√x)]^(－1/2)
　　　　＝1/{2√[(1－√x)/(1＋√x)]}

(dy/du)＝1/{2√[(1－√x)/(1＋√x)]}

となります．y'＝(dy/du)*(du/dx) により，

y'＝(dy/du)*(du/dx)

y'＝【dy/du】*【du/dx】

y'＝【1/{2√[(1－√x)/(1＋√x)]}】*【－1/[(√x)*(1＋√x)^2]】

y'＝－1/【{2√[(1－√x)/(1＋√x)]}*[(√x)*(1＋√x)^2]】

y'＝－1/【2(√x)*√[(1－√x)/(1＋√x)]*[(1＋√x)^2]】

y'＝－1/【2(√x)*√[(1＋√x)^4*(1－√x)/(1＋√x)]】

y'＝－1/{2(√x)*√[(1－√x)*(1＋√x)^3]}

y'＝－1/{2(√x)*√[(1－x)*(1＋√x)^2]}

y'＝－1/{2(√x)*(1＋√x)*√(1－x)}

y'＝－1/{2*(x＋√x)*√(1－x)}

です．これが，y＝√{(1－√x)/(1＋√x)} の１次導関数です．
＃１さんと答えが一致しているので，間違いは無いでしょう．

お礼

助かりました。
わからなくて一日中悩んでいました。
丁寧に回答していただけたおかげで、理解できました。
本当にありがとうございます。

回答No.1

info22

>y'=-1/4√(x-x^2) -√(1-√x)/{4√(x+x√x)}*1/(1+√x)
括弧をつけないと分子か分母か分かりません。
なので正しくもあり、間違っているとも取れます。
括弧をつけて正しい表現に訂正すると
y'=-[1/{4√(x-x^2)}] -[{√(1-√x)}/{4(1+√x)√(x+x√x)}]
ですね。

まだ、y'の式としては計算途中の式で分母を共通化して整理しないと最終式ではないですね。

整理すると
y'=-1/(2(x+√x)√(1-x))

お礼

すみませんでした。
アドバイスありがとうございます。