次の式は何進法で成立するか。という問題が理解できません。

質問

次の式は、何進法で成立するか。といった問題が理解できないでいます。

例えば、
131-45=53
132-24=107
1015÷5=131（余り0）
などです。

解き方など解説を見てもあまり理解できずにいます。どなたかご教授いただけると幸いですm(_)m

回答No.7

jjon-com

回答No.6の下から３行目，誤りがありました。

誤）０×５＋「繰上げの２」＝10進数で７
正）１×５＋「繰上げの２」＝10進数で７

回答No.6

jjon-com

基数をＮとおいて式を立てる正攻法は，桁数が多いとたいへんですよね。
下の位から検討していって，基数を予想する方法がおすすめです。

●131-45=53
減算より加算の方が直観的に分かりやすいので，53＋45＝131 で考える。
１の位に着目する。３＋５は10進数で８なのに，結果は１だという。
８＝７＋１なので，７の固まりで繰上げが発生する７進数ではないか？
この予想を基に一つ上の位を見てみると，５＋４＋「繰上げの１」＝10進数で10。
10＝７＋３ なので，７進数では13となる。
よって７進数だという予想は提示された式で成り立っている。

●132-24-107
減算より加算の方が直観的に分かりやすいので，107＋24＝132 で考える。
１の位に着目する。７＋４は10進数で11なのに，結果は２だという。
11＝９＋２なので，９の固まりで繰上げが発生する９進数ではないか？
この予想を基に一つ上の位を見てみると，０＋２＋「繰上げの１」＝10進数で３。これは９進数でも３である。さらに上の位の１，これも９進数でも１である。
よって９進数だという予想は提示された式で成り立っている。

●1015÷5=131（余り0）
除算より乗算の方が直観的に分かりやすいので，131×５＝1015 で考える。
１の位に着目する。１×５＝５。これは提示された式でも５になっている。
次に一つ上の位に着目する。３×５は10進数で15なのに，結果は１だという。
15＝14＋１なので，14の固まりで繰上げが発生する14進数だろうか？
しかし14進数であるなら，０～９以外のあと４種類の数字にどんな記号を用いるのか説明があってしかるべきだろう。そのことが問題文で触れられていないのなら，問題作成者が想定している数字の種類は０～９のみ，すなわち，問題作成者は10以上の基数は想定していないだろうということになる。であるなら，
15＝(２×７)＋１なので，７の固まりで繰上げが発生する７進数だろうか？
この予想を基にさらに上の位を見てみると，０×５＋「繰上げの２」＝10進数で７。
これは７進数では繰上げが発生して10であり，これは提示された式どおり。
よって７進数だという予想は提示された式で成り立っている。

回答No.5

ALOCATINON

Bombaieさんは、数字を10進法に変換する方法で解決できますか？
131-45=53（７進法）で表示されているのであれば、
桁毎に7進数の乗数を掛けて、その和を合計すれば10進数になります。
※情報処理試験のテキストにも10進数を8進数等に変換する解説が記載されていると思います。
●４５（７進数）
１桁目の「5」はそのままで　⇒５
２桁目の「4」に７（7の1乗）を掛けます⇒4ｘ7＝２８
⇒５＋２８＝３３　
「３３」が１０進表記です
●１３１（７進数）
１桁目は、そのままで⇒　１
２桁目は、３ｘ７　　⇒２１
３桁目は、１ｘ４９（７の２乗）⇒４９
１＋２１＋４９＝７１　
⇒「７１」が１０進表記です。
同じように、５３（７進数）も１０進数に変換してみてください
　「３８」になると思います。
従って
　１３１－４５＝５３（７進数）は
　　７１－３３＝３８（１０進数）で成立するため、この値を
　７進数で表記しているのが、ご質問の問題文となります。

回答No.4

wildcat-yp

一番機械的に解くのであれば、答えをN進数として、たとえば、131であれば
1xN^2+3xN^1+1xN^0（N^2はNの2乗)のようにしてすべての数をこの形式にして方程式を解けば出ます。

解説ではどのように説明していましたか？円を書いて説明してましたか？
さすがにここで絵を使って説明するのは大変なので、数式で出せる方法で済ませます。

補足

回答ありがとうございます。

非常に丁寧な説明でわかりやすかったのですが、もし1000以上の値で何進法か聞かれた場合はどのようにすればいいのでしょうか？

例えば123456の場合
1xN^5+2xN^4+3xN^3+4xN^2+5xN^1+6xN^0
と複雑になりますが、解くことができるのでしょうか？

ご教授いただけると幸いですm(_)m

回答No.3

riddle09

例えば131-45＝53なら、53+45＝131ですよね。
ここで5が出ているから、少なくとも6進法以上。
よってｘ進法(ｘ≧6)とおけば、
(5ｘ+3)+(4ｘ+5)＝ｘ＾2+3ｘ+1
9ｘ+8＝ｘ＾2+3ｘ+1
ｘ＾2-6ｘ-7＝(ｘ-7)(ｘ+1)＝0
ｘ≧6より
∴　ｘ＝7

他のものも同様に考えて、
132-24＝107　　9進法
1015÷5＝131　　7進法
ですね。

補足

回答ありがとうございます。

上記の方法を使って見事に解くことができました。
ですが解いていて疑問に思ったのですが1000より大きな値になった場合はどのように解けばいいのでしょうか？

回答いただけると幸いですm(_)m

回答No.2

ozunu

一桁目の運算に注目すると良いんじゃないかな。
あと、当然各桁に表れる数字より大きい進法になるのは自明の理ですね。

お礼

回答ありがとうございます。

一桁目に注目して問題を解いてみます。

回答No.1

debukuro

二進、四進、八進、十進、十六進のそれぞれで計算してみれば分かります

１０－８＝８だったら何でしょうか？

補足

回答ありがとうございます。

>二進、四進、八進、十進、十六進のそれぞれで計算してみれば分かります

その計算方法が理解できず解答することができずにいます。
もう少し詳しく教えていただけると幸いですm(_)m