扇形の面積の証明（極限）

質問

http://mtf.z-abc.com/?eid=473201
上記のサイトの扇形の面積の証明なのですが，三角形の面積の部分に無理はありませんでしょうか。なにか違和感を感じのですが…。
もし内容があっているなら，補足説明をお願いします。
極限・積分などは知っている前提として大丈夫（のはず）です。

回答No.3

arrysthmia

三角形の底辺を 1 に固定していることは、
実は余り障害になりません。

円に面積が存在することを
おおらかに前提してしまえば、
それが半径の２乗に比例することは自明です。
面積 = a r~2 と置いて、a を求める
ことになるのですが、その際、
r→∞ での 面積/r~2 の極限を見れば済みます。

リンク先は、a≧π を正しく示していますが、
円の面積を、下界からだけ評価していますから、
a=π を示してたことにはなりません。
この部分が不足しているのです。

お礼

すっきりしました！
みなさん回答ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

もちろん数学的にはダメ．
「証明」ではなくて「極限を意識した説明」にすぎません．
小学校での，
円の面積が「半径x半径x円周率」となることの説明
と同じ内容です．
ただ，わかりやすさはあるわけです．

そもそも
あの公式は，円の面積の公式・弧の長さの公式を知っていれば
もっと素直に「証明」できます．

極限を使うなら，
弧の長さを微小な分割して，長さをΔLとして
それを「底辺ΔL」「等辺r」の二等辺三角形があると
近似して微小な二等辺三角形を集めることになるのかな

微小な三角形は大ざっぱに直角三角形 (r/2)ΔL だとして，
これをLが0からlまでとして積分すれば
∫0^l r/2 dL = lr/2 ですな．
もうちょっと精密に，二等辺三角形のままいくと
(1/2)ΔL(r^2 - (ΔL)^2/4)
が微小な二等辺三角形の面積だけども，
結局ΔLの2次以上の項は消えてしまうから，同じ計算です．
何で消えてしまうかは，もっと式をばらせばみえるはず
ΔLが「等分割」だと思って，ΔL=l/n として
nについての和を計算して（Taylor展開すれば十分），
n->∞とすればよいのです．
＃これにしたって，もっともらしいだけで
＃あやしさは付きまとってるけどね

回答No.1

rnakamra

中心と円弧上の2点で作る三角形の面積ですが、もちろんこれは中心角→0の時の極限の話であり、そのままでは当然成り立ちません。
実際の面積は
(1/2)*1*√{r^2-(1/2)^2}
となります。(長さが1の辺に対する高さは三平方の定理から簡単に導けます。)
この場合、弦の長さを1に固定していてrも固定ですから極限で考えることは出来ません。

実際にこの議論を進めるには、底辺の長さを短くした極限で考えないといけません。なぜなら、底辺と弧で作られる領域の面積が有限(0でない)であり、足し算していくとこの誤差が蓄積していくことが避けられないからです。