変数（？）のとりかた

質問

底面の半径が１の直円柱３本を、それぞれx,y,z軸を中心に作ったとき、共通部分の体積を求めよ。

というような問題（概略）を解いています。
解答では、平面z=tでの断面積を求め、
（形が変わるt=(1/2)^(1/2)で場合分けして、途中で出てくる扇形の中心角をaとおく）
それを積分して求める、というやり方でした。
（答え：16-8*2^(1/2)）
自分の解答では、z=cos(t)で切って求めましたが（同じくt=pi/4で場合分け）、
答えが全く違ったものになってしまいました。

切る平面を決めた後は、面積を求めるときの図は解答と同じなのですが…

解答が違ったのはなぜでしょうか？
・ただの積分計算間違い
・そもそもz=cos(t)と置いたのが駄目
もし後者でしたら、その理由も教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.1

Nandayer · ベストアンサー

z = t で切ったときの断面積を S(t) としたとき、z=a と z=b で囲まれた部分の体積が、 S(t) の a から b までの定積分で与えられることはご存知ですね。その理由は、微小区間 z = t と z = t + Δt で囲まれた部分の体積が（断面積を S(t) で代表させて）S(t)*Δt になるからです。
　一方、z = cosθ とおいた場合、 z = cosθ と z = cos(θ+Δθ)で囲まれた部分の体積（＃）は、S(cosθ)*Δθ にはならないでしょう。θの増分と z の増分が違うので、Δz = -sinθ*Δθ としなければならないからです。したがって、この部分の体積は - S(cosθ)*sinθ*Δθ になるはずです。
　もうおわかりでしょうが、置換積分のことを言っているにすぎません。
　というわけで、お答えとしては「 z=cos(t) とおいてもよいが、dz = -sin(t) dt を忘れないで」といったところでしょうか。

（＃）cos は[0,π]で単調減少なので、Δθ> 0 のときは、符号をつけて負の体積と考えてください。

　これでわかっていただけると思いますが、わからなければ再質問をお願いします。

お礼

なるほど！確かにdzとすべきところを、ただdtとしていました。
よく見れば、模範解答でも扇形の中心角を置いたときにdtからdaへの置換をしていました。
これを見て気づくべきでしたね…
とてもよく解りました。ありがとうございます。