関数を微分せよ

質問

ある国立大学院過去問題です

1/tan((1-x^2)/(1+x^2))
自分のやり方がちょっとだけ複雑だと思います
誰か簡単で解答できればぜひよろしくお願い
orzorzorzorz

回答No.3

info22

合成関数の微分法でただひたすらにやるだけ。

>{1/tan((1-x^2)/(1+x^2))}'
=-[1/{tan((1-x^2)/(1+x^2))}^2]*{tan((1-x^2)/(1+x^2))}'
=-[1/{tan((1-x^2)/(1+x^2))}^2]*{sec((1-x^2)/(1+x^2))}^2
*((1-x^2)/(1+x^2))'
=-[1/{sin((1-x^2)/(1+x^2))}^2]*{(1-x^2)*(1+x^2)^(-1)}'
=-[1/{sin((1-x^2)/(1+x^2))}^2]*{-2x(1+x^2)^(-1)+(1-x^2)*(-2x)(1+x^2)^(-2)}
=[2x/{sin((1-x^2)/(1+x^2))}^2]*{(1+x^2)^(-1)+(1-x^2)*(1+x^2)^(-2)}
=[2x/{sin((1-x^2)/(1+x^2))}^2]*{(1+x^2)+(1-x^2)}(1+x^2)^(-2)
=[4x/{sin((1-x^2)/(1+x^2))}^2]*(1+x^2)^(-2)
=4x/[(1+x^2)sin{(1-x^2)/(1+x^2)}]^2

要は間違いなく確実に計算していくことでしょうね。

補足

早速ご対応有難うございます
質問はこういう風に書いたら分かり難いかもしれない
今回は画像を追加させていただきます

回答No.2

arrysthmia

素朴な疑問 (回答じゃないが) :

問題は、それで間違いないんだろうか。
arctan( (1-x~2)/(1+x~2) )
ってことはない？

回答No.1

R_Earl

> 自分のやり方がちょっとだけ複雑だと思います
> 誰か簡単で解答できればぜひよろしくお願い

比較対象が無いので、簡単なやり方かどうかは分かりません。
私の場合、y = 1/tan((1-x^2)/(1+x^2))とおき、
u = tan((1-x^2)/(1+x^2))とおいて、
(dy/du)(du/dx)として計算します。

(du/dx)を求める際は
u
= tan((1-x^2)/(1+x^2))
= tan( ( 2/(1 + x^2) ) - 1 )
と変形してから微分します。