円順列

質問

a、a、b、b、c、c、c、cの8つの円順列を求めるとき、

(8-1)!/(2!*2!*4!)

とやると分数になってしまいます。何がいけないのでしょうか…。

回答No.3

kamiyasiro

#2です。

角振動について補足です。
本来は、
2倍モードaabbccが
1倍モードabcと区別がつかないんですが、
ここでは、円順列としての区別を言っています。
誤解があるといけませんので、追記しておきます。

すみません。

回答No.2

kamiyasiro

円順列ですから、円順列の公式を使います。
ご質問文の内容で、おおかたの考え方は合っています。
ただし、少し工夫が必要です。

円順列は角振動と同じです。
ぐるぐる回るコマの模様のようなものです。
角振動には、
1倍モード（2^0倍：0次モード）,ファンダメンタルとも呼びます。
2倍モード（2^1倍：1次モード）,
4倍モード（2^2倍：2次モード）,
と次数が上がっていく性質があります。
このとき、低次モードの振動は波が倍になっても、区別ができません。

いま、問題文を見ると、
それぞれの成分は2のべき乗個あります。
このとき、最小のべき乗の値2^1倍がこの系の最高倍数になります。
つまり、この問題は2倍モードを考えなければなりません。

では、ヒントを述べます。
問題を簡単にするために、重複の処理を省き、
a,a,b,b,c,cで考えます。

まず、1倍モードを考えます。
a,b,cの3つの円順列を考えます。
3P3／3です。
abc,acb,bac,bca,cab,cbaの順列のうち、
開始点はどこでもいいので、3で割るのです。
(3-1)! と考えてもいいでしょう。

次に次数を上げ、2倍モードを考えます。
このとき、先の1倍モード、例えばabcが、
2倍になっても、角振動としては区別ができません。
abcabcという並び方は、abcと同じなのです。
したがって、
全体の並べ方である6P6/(2P2・2P2・2P2) から1倍モードを引いた
6P6／(2P2・2P2・2P2)－3P3 とおりの並び方が、
新たに2倍モードで出現する順列です。
これらの開始点はどこでもいいので、6で割ります。

つまり、間違いは、ここで (6-1)!／8 としてしまったことです。

なお、1倍モード,2倍モードは独立なので、全ての場合の数は
足し算で求められます。
4倍,8倍と高次になっても、この考え方で求められます。

与えられた問題は、これに加えて、cの重複処理が必要です。
その処理の考え方は質問文のとおりで間違っていません。

また、べき乗ではなく、単純な3倍というときは、
私が示した考え方のように各モードが独立にはなりません。
暇があれば、それも考えてみて下さい。

回答No.1

33550336

円順列の公式を使っているようですが、その公式は使えません。
公式の仮定をもう一度よく確認してみてください。