円順列について

質問

質問をさせていただきます。
青玉3個と白玉4個での円順列の求め方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

Mell-Lily · ベストアンサー

青玉３個と白玉４個を一列に並べるときの並べ方は、
　7_C_3=35（通り）
ありますが、並べ方を一つ抜き出せば、数珠繋ぎにしたときに、同じ並び方になる並び方が、あと６個あります。
　●●●○○○○
　●●○○○○●
　●○○○○●●
　○○○○●●●
　○○○●●●○
　○○●●●○○
　○●●●○○○
よって、
　35÷7=5（通り）
が求める答えになります。

お礼

とてもわかりやすい説明をありがとうございます。
納得しました。

回答No.5

fushigichan

こんにちは。
7個の玉のうち、青が3個、白が4個。
これを一列に並べる順列の求め方は

7C3＝7×6×5/3×2×1
　＝35とおり。

これを一列でなく、円に並べると、
上の場合のうち、同じならびかたが7とおりあるので
35÷7＝5

よって円順列は5通りである。

お礼

回答ありがとうございます。
ただ、ちょっと前に、同じ回答を送ってくれた人がいたので、
次点にさせていただきました。
ありがとうございました。

回答No.4

oshiete_goo

同色の玉が複数個ある場合は，一般的にはその構成個数による配置の対称性の有無がカギになってくると思います．
ただ，今の問題では全体が７個で青球３個(あとは全て白玉)なので，その条件が幸いして，比較的簡単に数えることが可能なようです．

最初，青玉のうち1個を特別視して，印をつけても良いのですが，
簡単のため，赤１個，青２個，白４個の円順列の場合を数えます．
すると，赤球を基準にして，残り６箇所のうち，青の入る場所の決め方が 6Ｃ2＝6・5／2・1＝15（通り）です．

次に，基準の赤玉を青に塗り替えると，７個の玉のうち３個が青球(残りは白)になりますが，どの配置も，順送りにぐるっと１回転させるときに途中で元の自分の配置と重なる(つまり回転対称な配置の）ものは１つもありません．
すると，基準となった赤球のあった位置から例えば反時計周りに1,2,3,4,5,6,7 と
場所に名前をつけると，先ほどの15通りのうち，青球３個の位置で言って例えば(1,2,6),(1,3,4),(1,5,7)の3通りは実は青球３個の区別がないときは同じ順列を表すことが分かります．同様に，青球３個の区別がないときは15通りのうちどの順列も３回ずつ数えていることになりますので，
結局，互いに異っている求めるべき円順列は　6Ｃ2÷３＝15÷３＝５（通り）です．

なお，対称性について触れたのは，例えば青２個，白４個の場合を考えると分かります．
赤１個，青１個，白４個での円順列は，赤を基準にすると　5Ｃ1=5 通りですが，
赤玉を青色に塗り替えると，場所1,2,3,4,5,6として，青２個をちょうど反対側に置いた配置(1,4)は（いわゆる２回対称で）１回転の間に元の配置と重なるけれども，さっきの５通りの中に同じ順列は他になく，１回しか数えていません．それに対し，青が(1,2),(1,6)は同じ，(1,3),(1,5)も同じで，１回転の中で２回ずつ数えていますから，（５－１）÷２＝２　となり，合計１＋（５－１）÷２＝３通りです．

このように，一般的には回転対称性を考慮する必要が出て来て，なかなか面倒なようです．

お礼

なんとなくわかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

zabuzaburo

球の色が全て異なる場合は円順列は容易に求まり、
公式のようなものも存在しますが、
この問題のような場合には適切な方法で数え上げる必要があります。

円順列は、回転して一致するものを同じとみなすので、
一直線に並べた順列よりも少ないはずです。
今、青球(●)3個と白球(○)4個を一直線に並べたとしても、
7! / (4!・3!) = 35通りしかありません。
この中には円順列としては同じものがあるわけですから、
きちんと書き出せば数え上げることができます。
35通り全部を書き出してもいいのですが、
左端に青球が来るものを書き出すだけでも充分です。

●●●○○○○(1)
●●○●○○○(2)
●●○○●○○
●●○○○●○
●●○○○○●(1)
●○●●○○○
●○●○●○○
●○●○○●○
●○●○○○●
●○○●●○○
●○○●○●○
●○○●○○●
●○○○●●○
●○○○●○●
●○○○○●●(1)

なぜなら、例えば白球が左端に来る
○●○○○●●
は、円順列として回転させれば(2)と一致しますね。
このように白球で始まる順列を考えても必ず上のどれかと
一致してしまうので、書き出しても無駄なわけです。

さて、上の15通りの中にも、さらに一致してしまうものがあります。
例えば最上段(1)を並べ替えると5段目や最下段のものに一致します。
そこで、これらには同じ(1)という番号を振っていきます。
2段目のものは(1)とは一致しないので、新たに(2)という番号を付け、
さらにこれと一致するものすべてに(2)を書き込みます。
この作業を最後まで行うと、下のようになります。

●●●○○○○(1)
●●○●○○○(2)
●●○○●○○(3)
●●○○○●○(4)
●●○○○○●(1)
●○●●○○○(4)
●○●○●○○(5)
●○●○○●○(5)
●○●○○○●(2)
●○○●●○○(3)
●○○●○●○(5)
●○○●○○●(3)
●○○○●●○(2)
●○○○●○●(4)
●○○○○●●(1)

結局、15通りの中には3つずつ同じものが5組あることが分かり、
円順列は5通り(答)となります。

お礼

ありがとうございます。
やっぱり、しらみつぶしにやるしかないのでしょうか？
もし、式が見つかったら、回答をお願いします。

回答No.1

sanpogo

一個固定すればいいのではないですか？

お礼

ありがとうございます。
やってみます。