数学の微分の問題で困っています。途中式と答えをよろしくお願いします＞＜

質問

次の関数の３階の導関数までという問題です。

（１）f(x)=cos^2 3x

(2)f(x)=2x-1/3x+1

(3)f(x)=e^2x

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

（１）f(x)＝cos^2 3x

１階微分：

u＝3x, u'＝3, f(x)＝cos^2 u

とおいて，

df/dx ＝ (df/du)*(du/dx)

を使う．

f'(x)＝2u'(-sin u)(cos u)＝2*3(-sin u)(cos u)

f'(x)＝－6(sin u)(cos u)

f'(x)＝－6(sin 3x)(cos 3x)　　　　　　　１階微分の答え

２階微分：

f''(x)＝－6[(sin u)'(cos u)＋(sin u)(cos u)']

f''(x)＝－6u'[(cos u)(cos u)＋(sin u)(－sin u)]

f''(x)＝－6u'[(cos u)^2－(sin u)^2]

f''(x)＝－6*3[(cos 3x)^2－(sin 3x)^2]

f''(x)＝－18[(cos 3x)^2－(sin 3x)^2]　　　　　２階微分の答え

３階微分：

f'''(x)＝－18u'[2(－sin u)(cos u)－2(cos u)(sin u)]

f'''(x)＝－18u'[－2(sin u)(cos u)－2(cos u)(sin u)]

f'''(x)＝3*4*18(sin u)(cos u)

f'''(x)＝3*4*18(sin 3x)(cos 3x)　　　　　３階微分の答え

(2)f(x)＝2x－1/3x＋1

これは書き方が悪く，f(x)＝2x－1/3x＋1＝2x＋1－1/3x のことではなく，
多分，f(x)＝(2x－1)/(3x＋1) のつもりで書いているのだろうと想像します．
なので，f(x)＝(2x－1)/(3x＋1) を微分します．

f(x)＝(2x－1)/(3x＋1)

１階微分：

f'(x)＝[2(3x＋1)－3(2x－1)]/(3x＋1)^2

f'(x)＝[6x＋2－6x＋3)]/(3x＋1)^2

f'(x)＝5/(3x＋1)^2 　　　　　１階微分の答え

２階微分：

f''(x)＝5[－2*3(3x＋1)]/(3x＋1)^4

f''(x)＝－30*(3x＋1)/(3x＋1)^4

f''(x)＝－30/(3x＋1)^3 　　　　　２階微分の答え

３階微分：

f'''(x)＝－30[－3*3(3x＋1)^2]/(3x＋1)^6

f'''(x)＝－270(3x＋1)^2/(3x＋1)^6

f'''(x)＝－270/(3x＋1)^4　　　　　３階微分の答え

(3)f(x)＝e^2x

１階微分：

f'(x)＝(e^(2x))'＝2e^(2x)

２階微分：

f''(x)＝2*2*e^(2x)＝4e^(2x)

f''(x)＝4e^(2x)　　　　　２階微分の答え

３階微分：

f'''(x)＝2*4e^(2x)＝8e^(2x)

f'''(x)＝8e^(2x)　　　　　３階微分の答え

（＊）なんだか，問題集を作っているみたいだなぁぁ？？？

お礼

お手数をかけてしまってすみませんでした。Knotopologさん詳しい解説と式をありがとうございます。とても助かりました！

回答No.1

mamoru1220

1. cos^2(3x) = (1+cos6x)/2 というのを使う。

2. (f/g)' = (f'g-fg')/g^2 を使う。

3. (e^x)' = x'e^x を使う。