対称群

質問

ｎを２以上の自然数とする。
X：＝｛０，１，２、・・・ｎ－１｝＝　Z/ｎとおく
０：X→Xを、a →3a　mod n　とする。

（１）０が単射となる必要十分条件をｎについての言葉で表せ

（２）０が全単射となる時、０とｎ元の置換とみて、０をSｎの部分集合とみなす。　ｎ＝８のとき、０の位数を求めよ

(2) 再びｎを一般の自然数とし、（１）の条件が満たされているとする。（２）で定義されたSｎにおける位数が、（Z/n)＊ における３の位数と等しいことを示せ

（３）はまったく手がかりすらつかめませんでした・・・
めんどくさい場合は、（３）だけ回答お願いします。
わからないので教えてください、よろしくお願いします

回答No.7

arrysthmia · ベストアンサー

返信が途絶えたようなので、本題に返って：

(3)の題意が解ったところで、これを示すためには、
O が生成する Sn の部分群と
3 が生成する Z/n の部分群が、
同型であることを示せば十分です。
それには、同型写像を具体的に一つ挙げればよい。

Z/n から Sn への写像 k → O^k が、その実例です。
これが同型写像であることを、同型の定義に沿って
検証しておいて下さい。

お礼

返信遅くなってごめんなさい。
０＾ｋ＝３＾ｋ
０＾ｋ＝１は３＾ｋ・ｘ＝ｘと同値
とテストの回答を頂きました！！

今回は本当にお世話になりました！！
また期末になりましたら、助けてください！！

回答No.8

Tacosan

同じことですけど
・3^k ≡ 1 (mod n) なる最小の正の k に対して ０^k が恒等写像
・それより小さい k に対して ０^k は恒等写像でない
でも OK でしょうか＞#7.
「位数」の定義からはこれの方がストレートな気もします.

お礼

いろいろ助けていただいて、
ありがとうございました。
わからないことばかりなので、これからもいろいろ教えてください！！

回答No.6

Tacosan

今まで書かなかったけど
「０：X→Xを、a →3a　mod n　とする。」
ってすごく違和感あるなぁ. ０ と (X の元である) ０ の区別がつかない....
さておき, #2 の「お礼」にある
「｜Ｘ｜　≦　ｎ」
は何を意味するのでしょうか? これが (1) の「単射となる必要十分条件である」という主張でしょうか?
もしそうなら, 残念ながら勘違いであるといわざるを得ません. というか, X = Z/n なんだから常に |X| = n だよね. つまり ０ は任意の n に対して単射であるといいたい?

お礼

｜Ｘ｜ではなく｜０｜と言い間違えました。
でもそれも答えが違っていました・・・笑

回答No.5

arrysthmia

おや、ミスプリ。 申し訳ない。
n がカブってました。

3~k≡1 (mod n) となる最小の自然数 k
ですね。
これが n ごとに決まるから、
「Z/n における」と頭に付く訳です。

(前半の説明は、読まなかったのかな)

回答No.4

arrysthmia

ほら、わかってない。
No.2 さんの言う通りだったでしょ。

群 G において、
G の部分群 H の位数とは、単に集合 H の要素数のこと。
G の元 a の位数とは、a^n=(単位元) となる最小の自然数 n のこと。
元の位数は、その元が生成する部分群の位数 とも言えるけど。

これがわかっていれば、
Ｚ/n における 3 の位数 とは、3^n≡1 (mod n) となる最小の自然数 n。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96#.E4.BD.8D.E6.95.B0

お礼

ありがとうございます！！

ということは
３＾８≡９＾４≡1　（mod８）
でよろしいでしょうか？

ありがとうございます。。。みなさんほんとに頭がいいですね。
どうしたらそんなに頭よくなれますか？
またいろいろと教えてください！

回答No.3

arrysthmia

＞ 位数の意味はわかりますが

本当ですかね。
No.1 でツッコんだのは、０⊂Ｓｎ と ０∈Ｓｎ とでは
「０の位数」という際の「位数」の意味が違うからです。

＞ 質問の意味がつかめませんでした。　

そうでしょうね。文章が悪過ぎます。
「０ が単射であるとき、Ｓｎ における ０ の位数は、
剰余環 Ｚ/n における 3 の位数と等しいことを示せ。 」
なら、解りますか？

お礼

位数の意味はわかっているつもりですが・・・
０⊂Ｓｎ と ０∈Ｓｎ とでは
「０の位数」という際の「位数」の意味が違うのですか？？

剰余環 Ｚ/n における 3 の位数というのがよくわからないですが・・・

何度も申し訳ないのですが、説明していただけませんか？

回答No.2

Tacosan

(3) で「手がかりすらつかめませんでした」ってことは, 「位数」の意味が全く分からないってこと?
(1) は「単射」でも「全射」でも「全単射」でも同じことだから, どれか 1つで条件を与えればよし.
(2) 計算しろ.
(3) 「位数」の定義を考える.

お礼

（１）　｜Ｘ｜　≦　ｎ　
（２）は（３）を説明するためにのせたのですが、０の位数は　８　で間違いないでしょうか？

（３）　は位数の意味はわかりますが、質問の意味がつかめませんでした。　
教えてください

回答No.1

arrysthmia

（２）
「０をｎ元の置換とみて、０をSｎの元とみなす。」の間違いでしょう。
０をSｎの部分集合とみなすことは、できません。

お礼

０∈Ｓｎ　なのですが、説明間違えました
ごめんなさい