数列の問題

質問

数列の問題なのですが、途中から解けずに困っています。以下、問題文です。

古本を購入したら連続した複数のページが抜け落ちているところが一ヵ所あった。抜けているページ番号の合計は9808であった。何ページから何ページまでが抜けていたか。

自分は、抜けている最初のページ番号をＡ、抜けている最後のページ番号をＢとして考え、
1/2*B(B+1)-1/2*A(A+1)=9808
したのですが、ＡとＢの関係式がもうひとつたてられませんでした。

ほかのやり方でもかまいませんので、よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

それでよい。
整数条件から、不定方程式が解ける。

その式を平方完成して
(B + 1/2)^2 - (A + 1/2)^2 = 9808・2 より、
和と差の積で因数分解して
(B + A + 1)(B - A) = 613・2^5。
因みに、613 は素数。

B + A + 1 = (B - A) + (2A + 1) より、
B + A + 1 と B - A は偶奇が異なり、
しかも B + A + 1 > B - A。

よって、上の素因数分解から、
B + A + 1 = 613,
B - A = 32。
後は、できるね。

お礼

ありがとうございます。
とても助かりました。

回答No.4

sanori

こんばんは。

頭が良くない人（＝私）のやり方。

抜けている最初のページをｍ（奇数）、最後のページをｎ＋１（偶数）と置けば、
・最初の１枚の表裏合計は、２ｍ＋１
・最後の１枚の表裏合計は、２ｎ＋１

抜けている枚数は、
（ｎ－ｍ）／２　＋　１

ページ数合計は、
２ｍ＋１　＋　２ｍ＋３　＋　６ｍ＋５　＋　・・・　＋　２ｎ－３　＋　２ｎ－１　＋　２ｎ＋１
　＝　２（ｍ＋ｎ＋１）｛（ｎ－ｍ）／２　＋　１｝
　＝　（ｍ＋ｎ＋１）（ｎ－ｍ＋２）
　＝　９８０８

（ｍ＋ｎ＋１）（ｎ－ｍ＋２）＝　９８０８
（ｍ＋ｎ＋１）（ｎ－ｍ＋２）＝　６１３×２^4
ここで、ｍとｎは、ともに奇数なので、
ｍ＋ｎ＋１　は奇数、ｎ－ｍ＋１　は偶数。
仮に、ｍ＋ｎ＋１　が１だとすれば、ｍ＋ｎ＝０　となるので不適。
よって、ｍ＋ｎ＋１　は６１３です。

ｍ＋ｎ＋１　＝　６１３
ｎ－ｍ＋２　＝　２^4

ｍ　＝　２９９
ｎ　＝　３１３　（最後のページは、ｎ＋１＝３１４）
よって、
２９９ページから３１４ページです。

ご参考に。

回答No.2

mami1120

あ、あと少しだけ解きほぐしましょう。

初項 a，公差 d，項数 n，末項 lの等差数列の
初項から第 n 項までの和 Sn は、

Sn＝n(n＋l）／２＝n｛2a＋(n＋1)d}／2
※１とLを間違えないようにしてください。。

せっかく楽しい数学を公式だけで覚えるのはもったいないので、下記のサイトでしっかり公式の成り立ちも納得してもらえると、良いかと思います。そこを理解すると、かなり応用が利くようになりますので！

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/tousasum/tousasum.htm

お礼

ありがとうございます！
サイトのほうも参考にさせていただきます。

回答No.1

mami1120

おそらく、、、、

■初項がA、等差が1の等差数列
■初項がA、末項がBの等差数列の和が9808

というところが、ヒントになります。
頑張ってみましょう！