固有ベクトルの求め方の途中がわかりません。

質問

http://web.sfc.keio.ac.jp/~watanabe/adstat5.pdf#search='固有値の求め方'

上のURLのページにある

３．固有ベクトルの求め方　のところで、
２つの連立方程式
2X1 + X2 = 5X1
3X1 + 4X2 = 5X2
を出すところまでは理解できるのですが、
その２つを解いて、 X1 = 1, X2 = 3
と、いきなりなっている部分の意味が解りません。

２つの連立方程式を私なりに解くと、０になってしまうと思うのですが・・・

解き方が違うのでしょうか？
すみませんが、ここの丁寧な計算を教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

2(X1) + (X2) = 5(X1)　＃１
3(X1)+4(X2 )= 5(X2)　＃２

ＳＩＴＥでは、

>>これを解いて、

と書いてあるので、
まるで、連立方程式を解いた様に読めるので、
（悪文）と言うよりＩ（誤り）に近いです。

理由は、固有値λ＝１，５　とあるのに、
λ＝５　のＣＡＳＥしか書いてありません。
これだけならば、
λ＝１　のＣＡＳＥは（読者が計算せよ。）
とも読めますが、
（X1、X2）=（１、３）はひとつ例にしかなっていません。

＃１は、(X2)＝3(X1)
＃２も、(X2)＝3(X1)　と変形出来るので、
この式からは、これ以上は何も出て来ないのです。

では、どうすれば良いのかは、

固有ベクトルを、（ｘ、ｙ）と置くと、
（ｘ、ｙ）＝（　(X1) 、3(X1) 　）＝(X1)（　１ 、３　）
(X1)＝ｓ　と更に置き換えて、
（ｘ、ｙ）＝ｓ（1,3)

λ＝１　のＣＡＳＥを計算すると、
（ｘ、ｙ）＝（　(X1) 、－(X1) 　）　となり、同様に、
（ｘ、ｙ）＝ｔ（1,-1)　＜ｓ、ｔは０でない任意の実数。＞

ここまで叩いて、何故こんなに判り難いのか考えると、
＃１、＃２は（添え字）が付いているのが元凶と思えます。
（添え字）を使用せずに、最初から単に（ｘ、ｙ）と書けば、
２ｘ + ｙ = ５ｘ　＃＃１
３ｘ+４ｙ= ５ｙ　＃＃２

条件として、ｙ＝３ｘ　となり
（ｘ、ｙ）は定まらないので、
ｓ　を　０でない任意の実数として、
（ｘ、ｙ）＝ｓ（１、３）　とするしかないとなります。
この方が余程わかり良い気はします。

尚、好みにもよりますが、
他のＳＩＴＥに、もっと判り良い説明が・・・。
また、このＳＩＴＥの記述の解説は反古にして、
新スレッドで、別解説を求めた方が・・・。

お礼

回答ありがとうございます！！

とても丁寧な解説でわかりやすかったです。

理解することが出来ました！

ありがとうございました。

回答No.4

mtaka_2007

なぜ0になるのか分かりません。計算間違いと思います。２つの方程式からは、サイトにあるように
3X1=X2
になります。これを満たす簡単なベクトルとして(1,3)を選んでいます。
固有値が１の時は、
X1+X2=0
が条件となります。これから(1,-1)が求められます。(-1,1)を選択しても同じ結果が得られます。つまり、(1,3)と(-1,1)を列ベクトルとした行列をPとすれば、Pの逆行列×A×Pで、5と1を対角成分とする対角行列が求められます。

このような簡単な問題は、友達にでも聞いたほうがよいと思います。

回答No.2

sedai

どちらの式も下の形に変形してみてください。
X2=???

X1とX2の比を最も簡単な整数にしているだけです。
1/3 = 2/6 = 3/9ですよね。

お礼

回答ありがとうございます！

比率で考えているなら理解できます。

ありがとうございました！！

回答No.1

koko_u_

>２つの連立方程式を私なりに解くと、
>０になってしまうと思うのですが・・・
連立方程式が 0 以外の解を持つように固有値を求めているのです。
もう一度計算だ。