log(1-z)が正則か分からなくて困っています。

質問

∫の|z|=r (r<1){log(1-z)}/zを計算せよ、という問題です。そこでコーシーの積分定理を使おうとしたのですが、log(1-z)の分枝切断をどうとるのかよくわからなかったりして、正則かどうかわからず、質問しました。
詳しく回答して頂けるとありがたいです。

回答No.2

21MM392 · ベストアンサー

#1お礼へ。
複素数wからzへの対応に関し
e^(w+2πn√(-1) ) = 1-z
が、n=0,±1,±2,...,について成り立っているために、これを逆にzからwへの対応とみた場合、
w+2πn√(-1) = log(1-z)
となってしまうことが、log(1-z)が無限多価関数と解釈せざるをえない原因でした。これを無理やり１価関数として扱うために、zの定義域を拡張して（偏角を一般角に拡張したように）、それぞれのnに対応するように、z側の複素数平面を複数枚用意し、それらを接続したものを考える、というのがリーマン面のアイデアでした。
このときの1-zの偏角のとり方（分枝切断）は、なにも[0, 2π]に限らず、[-π, π]など、点z=1から伸びるどの半直線で切断しても一向にかまわないです。ただ、1-zの偏角に応じて定まるリーマン面の葉の表示が、[-π+2πn, π+2πn]などと変わるだけです。zがどの葉に属するかに応じて、log(1-z)の主値に定数2πn√(-1)が加わるということです。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

21MM392

この場合log(1-z)の特異点はz=1で、それ以外で正則ですから、z=0の周りの積分を行うときは、Re z >1で分枝切断すれば、|z|<1でlog(1-z)はべき級数に展開可能です。
{log(1-z)}/z = (z+z^2/2+z^3/3+...)/z
= 1+z/2+z^2/3+...
で、特異点z=0が除去できました。つまり、被積分関数は|z|<rで正則になっていて、コーシーの積分定理から、積分値は０になります。

お礼

素早い回答ありがとうございます。
問題とは直接関係ないのですが、関連して新たに疑問がわきました。
質問の問題とは関係なくlog(1-z)だけを考えたとき、Re z >1で分枝切断するとlog(1-z)は[0 2π]ごとにリーマン面がとれる無限多価関数になるのですか？また、分枝切断はほかのところでもよいのですか？その場合、どのようにリーマン面をとればよいのでしょうか？
すみません、基本的なことだとは思うんですけどわからないので、回答お願いします。