微分可能ではない点と極値
y'が存在しないことがわからないので質問します。問題は、
次の関数の極値を求めよ (1) y=2x+3³√x^2 (2)y=|x|√(x+1) というものです。
(1) 関数の定義域は実数全体で、y=2x+3x^(2/3)であるから、ここがわからないところです。x≠0のとき、y'=2+3*(2/3)x^(-1/3) インターネットで調べたところ、y=0(x=0のとき)は微分可能なのに、x=0を除く理由がわかりません。またy’={2(³√x+1)}/³√xを出したあと、分母は0にならないからx≠0とするのは納得できますが、y'を計算する前に、x≠0と判断する理由がわかりません。本ではy’=0 のとき³√x=-1, 関数yはx=0のとき微分可能ではない。x=-1で極大値1 x=0のとき極小値0をとる。と書いてあります。またf(x)=2x+3³√x^2と置いて微分係数、lim(h→0){f(0+h)-f(0)}/hを計算したら、
lim(h→0) 2+3h^(-1/3)となり計算できませんでした。これがx=0を除いた理由なのかとも思いました。
(2)定義域はx+1≧0からx≧-1, x≧0のときy=x√(x+1) ここもわからない点ですが、
x>0のとき、y'=√(x+1)+x/{2√(x+1)} >0 (1)と同様x=0が除かれる理由がわかりません。続きは -1≦x<0のとき y=-x√(x+1) y'を計算して、y'=0のときx=-2/3 関数yはx=-1,0で微分可能ではない。ゆえにx=-2/3で極大値(2√3)/9,x=0で極小値0をとる。最後のわからないところが、x=-1のとき微分はできない点です。
どなたか(1)のx=0で微分可能ではない (2)のx=-1,0で微分可能でない理由を教えてください。
お礼
皆様ありがとうございます。なんとか自分でけいさんしてみました。