微積分

質問

d^2y/dx^2= {(dx/dt)(d^2y/dt^2)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)}/(dx/dt)^3
を示せという問題なのですが右辺から左辺をやろうとしても0になってしまい、できませんでした。解答のほうをお願いします

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

助変数（媒介変数）を用いる微分法で，
忠実に d^2y/dx^2 を計算すれば良いだけのはなしです．
つまり，f, g を或る関数として，

y=f(t)　・・・・・(1)

x=g(t)　・・・・・(2)

と言うことを想定している問題です．
まず，dy/dx を求めて（公式です．），
次に，d^2y/dx^2 を計算します．
x と y が (1)式，(2)式のように
助変数表示されているときの dy/dx は，

dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt)　・・・・・(3)

となります．この(3)式の両辺を x で微分すると，

d^2y/dx^2= d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dx　・・・・・(4)

と書けます．この(4)式の右辺に対して，助変数の微分法を用いると

d^2y/dx^2= [d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]/(dx/dt)　・・・・・(5)

となります．(5)式の分子：[d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]を
t で微分する(分数の微分公式を用いる)と，
(5)式の分子：[d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]は，

[d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]= [(d^2y/dt^2)(dx/dt)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)]/(dx/dt)^2

となりますから，d^2y/dx^2 は，結局，

d^2y/dx^2= [d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]/(dx/dt)

= [{(d^2y/dt^2)(dx/dt)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)}/(dx/dt)^2]/(dx/dt)

= {(d^2y/dt^2)(dx/dt)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)}/(dx/dt)^3

で，質問の式が得られます．

回答No.4

Knotopolog

＃３です．補足しておきます．

貴方が＃１さんの「この回答への補足」に書いている「0」になる
と言う次の式：

右辺=(d/dt){(dx/dt)(dy/dt)-(dy/dt)(dx/dt)}(dt/dx)^3
=0になります？？

は，基本的に間違い（誤解・勘違い）です．

d^2y/dt^2 は，(d/dt)(dy/dt) のことではありません．また，

d^2x/dt^2 も (d/dt)(dx/dt) のことではありません．

d^2y/dt^2 は，y を t で２回微分したことを表す記号です．

d^2y/dt^2 は，ddy/dtt のことではありません．
d^2x/dt^2 も同様です．
２回微分の記号の意味を誤解しています．

回答No.2

Tacosan

(d/dt){(dx/dt)(dy/dt)-(dy/dt)(dx/dt)}
=(dx/dt)(d^2y/dt^2)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)
ということでしょうか? その根拠は?

回答No.1

Tacosan

「右辺から左辺をやろうとしても0になってしまい、できませんでした」の処理を見せてもらえますか?
実際には, 普通に左辺から右辺を導けばいいだけだけど.

補足

右辺=(d/dt){(dx/dt)(dy/dt)-(dy/dt)(dx/dt)}(dt/dx)^3
=0になります？？